В поисках бесконечности - [38]
Сумма этой прогрессии равна 1:
Таким образом, общая длина всех ступеней равна 1.
Но на этих ступеньках функция совсем не поднимается вверх, весь ее подъем сосредоточен в точках канторова множества. А на долю этого множества осталось очень "мало" точек: хотя его мощность и равна континууму, но длина равна нулю! (Длина всего отрезка [0, 1] равна 1, и общая длина ступенек тоже равна 1, так что на долю канторова множества остается лишь нулевая длина.) Таким образом, наша функция умудряется подняться вверх на 1, хотя растет только на множестве нулевой длины и не делает нигде скачков! Не правда ли, удивительно?
Колючая линия.
На протяжении многих столетий математики имели дело лишь с линиями, почти в каждой точке которых можно было провести касательную. Если и встречались исключения, то только в нескольких точках. В этих точках линия как бы ломалась, и потому их называли точками излома. Линия, изображенная на рис. 15, а, имеет две точки излома, а линия, изображенная на рис" 15, б,- десять точек излома.
Рис. 15
Но линии, которые мы только что построили, имеют уже бесконечно много точек излома, например линия на рис. 13 ломается во всех точках канторова множества, а кроме того, в вершинах всех треугольников. Однако даже линия на рис. 13 имеет изломы на сравнительно "маленьком" множестве точек, длина которого равна нулю.
В течение долгого времени никто из математиков не верил, что может существовать непрерывная линия, целиком состоящая из зубцов, изломов и колючек. Велико было изумление, когда удалось пои строить такую линию, более того, функцию, график которой был такой колючей изгородью. Первым сделал это Больцано. Но его работа осталась неопубликованной, и впервые такой пример опубликовал Вейерштрасс. Однако пример Вейерштрасса очень трудно изложить — он основан на теории тригонометрических рядов. Пример же Больцано напоминает линии, которые мы строили раньше.
Вот этот пример с небольшими изменениями. Разделим отрезок [0, 1] на четыре равные части и над двумя средними частями построим равнобедренный прямоугольный треугольник (рис. 16, а). Получившаяся линия является графиком некоторой функции, которую обозначим через y = f>1(x).
Рис. 16
Разделим теперь каждую из четырех частей еще на четыре равные части и в соответствии с этим построим еще четыре равнобедренных прямоугольных треугольника (рис. 16, б). Мы получим график второй функции y = f>2(x). Если сложить эти две функции, то график суммы y = f>1(x) + f>2(x) будет иметь вид, изображенный на рис. 16, в. Видно, что получившаяся линия имеет уже больше изломов и эти изломы гуще расположены. На следующем шаге мы снова разделим каждую часть еще на четыре части, построим 16 равнобедренных прямоугольных треугольников и прибавим соответствующую функцию y = f>3(x) к функции y = f>1(x) + f>2(x).
Продолжая этот процесс, мы будем получать все более и более изломанные линии. В пределе получится линия, у которой излом в каждой точке и ни в одной точке к ней нельзя провести касательную.
Рис. 17
Похожий пример линии, нигде не имеющей касательной, построил голландский ученый Ван-дер-Варден[66]. Он взял равносторонний треугольник,разделил каждую его сторону на три равные части и на средних частях построил новые равносторонние треугольники, смотрящие наружу. У него получилась звезда. Теперь каждую из двенадцати сторон этой звезды он разделил еще на три части и снова на каждой из средних частей построил правильный треугольник. Получилась еще более колючая линия, изображенная на рис. 17. После бесконечного числа делений и построений правильных треугольников получилась линия, в каждой точке которой есть излом, колючка.
Математики построили много непрерывных функций, графики которых не имели касательной ни в одной точке, и начали изучать их свойства. Эти свойства совсем не походили на свойства "добропорядочных" гладких функций, с которыми они до тех пор имели дело. Поэтому математики, воспитанные в классических традициях, с изумлением смотрели на новые функции. Более того, виднейший представитель классического математического анализа Шарль Эрмит[67] так писал своему другу, голландскому математику Стилтьесу[68]. "Я с ужасом отворачиваюсь от этой достойной сожаления язвы непрерывных функций, не имеющих производной ни в одной точке" (то есть, как мы их называли, всюду колючих линий).
Рис. 18
В физике встречаются линии, очень напоминающие колючие линии Ван-дер-Вардена и других. Это — траектории частиц, совершающих под ударами молекул броуновское движение. Французский ученый Ж. Перрен[69] сделал; зарисовки движения таких частиц. Он наблюдал их положения через каждые полминуты и соединял полученные точки прямолинейными отрезками. В результате у него получились запутанные ломаные, вроде изображенных на рис. 18. Но не следует думать, что в действительности между отдельными наблюдениями частица двигалась по прямой. Если бы Перрен наблюдал ее не через полминуты, а через полсекунды, то каждый прямолинейный отрезок пришлось бы заменить ломаной, столь же сложной, как и ломаные на рис. 18. И чем меньше были бы промежутки между наблюдениями, тем сложнее и "колючее" становилась бы ломаная. Американский математик Н. Винер
