В поисках бесконечности - [36]

Даже добавление условия непрерывности не слишком помогало. Пользуясь обретенной свободой, математики начали строить замысловатые примеры непрерывных функций, которые противоречили всем привычным для их предшественников представлениям. Изменение, произошедшее во взглядах ученых на понятие функции в конце XIX в., Анри Пуанкаре[65] охарактеризовал следующими словами: "Некогда при нахождении новых функций имелась в виду какая-нибудь практическая цель. Теперь функции изобретают специально для того, чтобы обнаружить недостаточность рассуждений наших отцов; никакого иного вывода, кроме этого, из них извлечь нельзя".

Дальнейший ход развития математики показал, что мнение Пуанкаре было односторонним — в современной физике приходится иметь дело с функциями и линиями, обладающими весьма странными свойствами. Но путь до этих приложений был еще весьма далек, и в конце XIX в. математики с увлечением последовали свойства самых чудовищных функций, которые их предшественники поместили бы разве что в кунсткамеру; не зря новую теорию функций некоторые из математиков классического направления называли "тератологии функций" (тератология — учение об уродствах).

Математики конца XIX в. как бы положили функции под микроскоп логического анализа, в то время как их предшественники смотрели невооруженным глазом и не могли открыть тонкости "микроскопического строения" этих функций. Хотя математики XVIII в. теоретически понимали, что график функции, как и всякая линия, толщины не имеет, они, думая о функциях, воспринимали их графики как начерченные на бумаге карандашом или рейсфедером, то есть имеющие некоторую толщину. А такие линии были кусочно-монотонными, то есть их графики состояли из конечного числа кусков, на которых они либо поднимались, либо опускались. Всюду, за исключением нескольких точек, к этим графикам можно было провести касательную, любые две линии в ограниченной части плоскости имели лишь конечное число общих точек и т. д.

Математики той эпохи не подозревали, что существуют функции и линии, свойства которых совсем не похожи на свойства таких "добропорядочных" функций, как многочлены, тригонометрические, показательные функции и т. д. Но в разработанном ими математическом аппарате уже содержался динамит, который впоследствии и взорвал кажущееся благополучие. Этим динамитом оказалась теория бесконечных рядов. Первоначально такие ряды возникли, чтобы облегчить вычисление значений функций. Но потом они превратились в способ получения новых функций. И тут оказалось, что при сложении столь хороших функций, как многочлены, по мере добавления новых членов начинают выступать все более мелкие дрожания будущей бесконечной суммы, и в конце концов получается функция, совсем не похожая по своим свойствам нате, которыми занимался классический анализ. Поведение таких функций напоминало математикам-классикам сумасшедший дом. Так что и здесь понятие бесконечности, идея о возможности сложить бесконечно много слагаемых, оказало революционизирующее влияние на развитие науки.

А теперь позвольте пригласить вас на прогулку по математической кунсткамере, где собраны некоторые экспонаты, которые столь же отличаются от знакомых со школьных или вузовских времен математических образов, как ихтиозавры или какие-нибудь трицератопсы от современных животных.

Джинн выходит из бутылки.

Необычной является уже сама функция Дирихле, о которой говорилось выше. Ведь на самом маленьком отрезке оси абсцисс бесконечно много и рациональных чисел и иррациональных чисел. Но функция Дирихле для рациональных чисел равна единице, а для иррациональных — нулю. Поэтому когда x пробегает ось абсцисс, то значение функции все время прыгает от 0 к 1 и обратно. Построить график этой функции совершенно невозможно, потому что эта функция во всех точках разрывна.

Но и среди непрерывных функций есть функции с неожиданными свойствами. Например, может ли непрерывная функция иметь на конечном отрезке бесконечно много максимумов и минимумов? На первый взгляд это совершенно невозможно. Ведь функция должна успеть опуститься из точки максимума в точку минимума, потом опять подняться в точку максимума и т. д. Как же ей сделать все это на конечном отрезке? Тем не менее оказалось, что такие странные функции существуют, причем построить их совсем нетрудно.

Построим такую функцию на отрезке [0, 1]. Для этого разделим отрезок пополам и построим на левой половине равносторонний треугольник. Теперь разделим оставшуюся правую половину снова на две равные части и на части [¹/₂, ³/₄] построим второй равносторонний треугольник. Выполним описанную операцию бесконечно много раз. У нас получится "горная цепь", состоящая из бесконечного числа вершин, постепенно опускающаяся к точке 1 (рис. 12). Примем полученную ломаную за график функции f(x). Тогда функция будет определена в каждой точке отрезка [0, 1], за исключением крайней правой точки 1. В этой точке положим f(1) = 0.

Рис. 12

Так как при приближении к точке 1 высоты вершин стремятся к нулю, полученная нами функция непрерывна во всех точках отрезка [0, 1]. А число максимумов и минимумов на этом отрезке бесконечно велико!