В поисках бесконечности - [32]

Но самый строгий судья научных теорий — время ставит в конце концов все на свои места. Постепенно все реже и реже стали появляться работы, в которых бы использовались трансфинитные числа, исследовались мощности, отличные от счетной или континуальной. Множества с такими мощностями можно получить, рассматривая, например, все части плоскости или все функции на отрезке [0; 1]. Но дело в том, что и в теоретических исследованиях, и для решения практических проблем, нужны не любые части плоскости и не любые функции, а лишь получаемые с помощью фиксированных процессов из некоторых простейших. А множества таких "хороших" частей или функций имеют мощность континуума.

И хотя, по словам П. С. Александрова[51] и А. Н. Колмогорова[52], "огромное влияние теории множеств на развитие математики последнего полустолетия является в настоящее время общепризнанным факушм", в настоящее время это влияние идет совсем по иным каналам. В следующей главе мы расскажем о том, как изменилось лицо некоторых областей математики под влиянием теоретико-множественных концепций.

Глава 3. Удивительные функции и линии, или прогулки по математической кунсткамере

Общий фундамент.

Через всю историю развития математической науки проходят диалектические противоположность и единство двух ее частей, одна из которых изучает числа, а другая — фигуры. Натуральные числа отличаются друг от друга своими свойствами: одни из них четны, а другие нечетны, одни являются простыми, а другие — составными, одни могут быть представлены в виде суммы двух квадратов, а другие так не представляются. Это бесконечное разнообразие свойств, столь разительно меняющихся при добавлении к числу хотя бы одной единицы, придает прелесть занятиям теорией чисел. Разумеется, столь же разнообразны по своим свойствам геометрические образы — треугольники и квадраты, окружности и параболы, астроиды и кардиоиды. Но все же каждая отдельно взятая линия, например прямая или окружность, состоит из совершенно одинаковых по своим свойствам точек.

По-разному проявляется в этих частях математики и идея бесконечности. В арифметике она воплощается как бесконечность натурального ряда чисел, а в геометрии — как бесконечность пространства и, в то же время как возможность неограниченного деления фигур на части. И все же, несмотря на эту, казалось бы, непреодолимую пропасть, связанную, быть может, с какими-то глубинными свойствами человеческого разума, на протяжении всей истории математики не прекращались попытки связать друг с другом арифметику и геометрию и постараться вывести всю математическую науку из единого основания.

В эпоху, когда математика была не столько наукой, сколько ремеслом, которым занимались египетские и вавилонские писцы, единство между арифметикой и геометрией проявлялось в наивной форме — среди различных задач рассматривали и задачи на вычисление площадей фигур и объемов тел. Первая попытка теоретического объединения арифметики и геометрии была предпринята в VI в. до н. э. в школе древнегреческого математика и философа Пифагора. Одно из дошедших до нас изречений Пифагора гласит: "Все есть число". Он не только пытался "поверить алгеброй гармонию", создав одну из первых математических теорий музыкальной гаммы, но и хотел свести к натуральным числам науку об измерении геометрических величин. Поэтому для всего миросозерцания пифагорейцев оказалось катастрофой сделанное одним из них открытие несоизмеримости стороны и диагонали квадрата (в течение длительного времени они скрывали этот факт от непосвященных).

После того как стала ясной невозможность построить геометрию на основе понятия натурального числа, древнегреческие математики, наоборот, стали выражать в геометрических терминах соотношения между любыми величинами. Хотя дискретное лучше поддавалось логическому анализу, непрерывное лучше охватывалось интуицией. На языке геометрии греческие ученые выражали алгебраические закономерности (именно с тех пор в математике укоренились термины квадрат числа, куб числа, среднее геометрическое, геометрическая прогрессия и т. д.), исследовали квадратические иррациональности, решали кубические уравнения. Саму же геометрию греческие ученые строили на идее о безграничной делимости линий, фигур и тел. Они создали абстрактные понятия о точке, не имеющей размеров, о линии, имеющей лишь длину, о геометрической поверхности. И хотя эти понятия были лишь смелым теоретическим обобщением представлений о реальных точках, линиях и поверхностях, они верно служили ученым в их исследованиях и позволяли получать с их помощью правильные формулы для площадей и объемов.

После падения античной цивилизации центр математических исследований переместился в арабоязычные страны. Ученые этих стран были знакомы не только с наследием древних греков, но и с шедшей от вавилонских писцов традицией, содержавшей общие методы решения арифметических задач. Оказали на них влияние и открытия индийских математиков, которые создали десятичную систему счисления и, в отличие от древнегреческих ученых, свободно пользовались в своих работах отрицательными числами. Все это подготовило почву для создания алгебры, которая возникла в IX в. н. э. как наука о решении уравнений. Математики той эпохи, многие из которых жили в Средней Азии, не слишком задумывались над тонкостями, связанными с несоизмеримыми отрезками, и свободно использовали числа при изучении проблем геометрии.