В поисках бесконечности - [30]
Решение получается следующим образом. Каждую точку T квадрата ABCD можно задать двумя числами — ее координатами x и y (или попросту ее расстояниями до сторон АВ и AD). Эти числа можно записать как бесконечные десятичные дроби. Так как x и y не больше 1, то эти дроби имеют вид
x = 0, α>1α>2... ,α>n...,(1)
y = 0, β>1β>2... β>n...(2)
(для простоты мы не берем точки квадрата, лежащие на его сторонах, а берем лишь внутренние точки). Здесь α>n и β>n — десятичные знаки чисел x и y, например, если x = 0,63205... и y = 0,21357..., то α>1 = 6, α>2 = 3, α>3 = 2 и т. д., а β>1 = 2, β>2 = 1, β>3 = 3 и т. д.
Нам надо теперь найти точку Q отрезка АВ, соответствующего точке Т. Достаточно указать длину отрезка AQ. Мы выберем эту длину равной числу z, десятичные знаки которого получаются путем "перетасовывания" десятичных знаков чисел хну. Иными словами, сделаем из двух записей (1) и (2) третью, написав их десятичные знаки через один:
z = 0, α>1β>1α>2β>2α>3β>3 ... α>nβ>n ...
Например, если
x = 0,515623...
и
y = 0,734856...,
то
z = 0,571354682536...
Точка z лежит на отрезке [0, 1], и ясно, что различным точкам квадрата соответствуют при этом разные точки отрезка. Ведь если точки T и T' не совпадают, то в десятичных записях чисел x и x' или y и y' хоть один знак будет разный. Но это приведет к тому, что десятичные записи соответствующих чисел z и z' не совпадут. Несколько более подробный анализ показывает, что тогда не совпадают и сами эти точки.
Всех точек отрезка мы не получим. Например, точка z = 0,191919... должна была бы получиться из пары x = 0,111..., y = 0,999..., соответствующей точке на стороне квадрата, а такие точки мы условились не брать. Поэтому при отображении квадрата на отрезок точка z не будет образом ни одной точки квадрата.
Мы установили взаимно однозначное соответствие между точками квадрата и частью точек отрезка [0, 1]. Это показывает, что множество точек квадрата имеет не большую мощность, чем множество точек отрезка. Но его мощность и не меньше, а потому эти мощности совпадают.
Не только квадрат, но и куб имеет столько же точек, сколь и отрезок. Вообще любая геометрическая фигура, содержащая хоть одну линию, имеет столько же точек, сколько и отрезок. Такие множества называют множествами мощности континуума (от латинского continuum — непрерывный).
Существует ли множество самой большой мощности?
Пока что самой большой мощностью, которую мы знаем, является мощность множества точек на прямой, то есть мощность континуума. Ни множество точек квадрата, ни множество точек куба не имеют большей мощности. Не является ли мощность континуума самой большой? Оказывается, что нет. Более того, вообще нет множества самой большой мощности. Для любого множества A есть множество, мощность которого больше мощности A. Этим множеством является, например, множество В всех функций, заданных на множестве A и принимающих значения 0 и 1.
Покажем сначала, что мощность множества B не меньше, чем мощность множества A. Для этого каждой точке α множества A поставим в соответствие функцию f>a(x), принимающую в этой точке значение 1, а в остальных точках значение 0. Ясно, что разным точкам соответствуют разные функции. Например, если множество A состоит из трех точек 1, 2, 3, то точке 1 соответствует функция, принимающая в этой точке значение 1, а точке 2 — функция, принимающая в точке 1 значение 0. Эти функции не равны друг другу.
Итак, мощность множества B не меньше мощности множества A. Покажем теперь, что эти мощности не равны друг другу, то есть что нет взаимно однозначного соответствия между элементами множеств A и B.
В самом деле, предположим, что такое соответствие существует. Обозначим тогда функцию, соответствующую элементу a из A, через f>a(x). Напомним, что все функции f>a(x) принимают только два значения: 0 и 1.
Составим новую функцию φ(x), заданную равенством
φ(x) = 1 — f>x(x).
Таким образом, чтобы найти значение функции φ(x) в некоторой точке а из A, надо найти сначала соответствующую этой точке функцию f>a(x) и вычесть из 1 значение этой функции x = a. Ясно, что функция φ (x) также задана на множестве A и принимает значения 0 и 1. Следовательно, φ (x) является элементом множества B. Но тогда, по предположению, φ (x) соответствует некоторой точке b из A, а значит,
φ(x) = f>b (x).
Учитывая первое равенство для φ(x), получаем, что для всех x из A
1 — f>x(x) = f>b(x),
Положим в этом равенстве x = b. Мы найдем тогда, что
1 — f>b(b) = f>b(b),
и потому
Но это противоречит тому, что значения функции f>b(x) равны 0 и 1. Полученное противоречие показывает, что взаимно однозначного соответствия между множествами A и B быть не может.
Итак, для любого множества A можно построить множество B большей мощности. Поэтому множества самой большой мощности не существует. Отправляясь от самой малой из бесконечных мощностей — мощности множества натуральных чисел, мы получим сначала мощность континуума, потом мощность множества всех функций, заданных на множестве действительных чисел, и будем без конца подниматься вверх по этой головокружительной лестнице все увеличивающихся бесконечных мощностей.
Арифметика бесконечности.
