В поисках бесконечности - [28]

Когда я подошел к двери второго номера, то первая цифра соответствующего варианта меня не интересовала, ведь первая цифра моего варианта была уже написана. Поэтому все внимание было обращено на вторую цифру. Увидев, что эта цифра 1, я записал в своем блокноте цифру 0. Точно так же, обнаружив, что третья цифра варианта, прибитого к двери третьего номера, тоже 1, я записал в блокноте цифру 0. Вообще, если я обнаруживал, что n-я цифра n-го варианта есть 0, то писал в своем блокноте на n-м месте цифру 1, если же n-я цифра n-го варианта была 1, то n писал у себя 0.

Когда я обошел все номера гостиницы, то в блокноте оказалась записанной последовательность нулей и единиц.

Войдя в кабинет директора, я сказал:

- Вот, полюбуйтесь на пропущенный вариант.

- А откуда известно, что он пропущен?

- Он не может быть первым, так как отличается от него первой цифрой, не может быть вторым, так как отличается от него второй цифрой, третьим, так как отличается от него третьей цифрой, и вообще n-м, так как отличается от него n-й цифрой.

Пари было выиграно, и я получил вечное право бесплатного проживания в этой гостинице.

Но одновременно стало ясно, что какое бы счетное множество вариантов ни взять, всегда найдется вариант, не вошедший в это множество (эти варианты всегда можно развесить по дверям номеров). А это и значит, что множество всех вариантов заполнения гостиницы несчетно, задача, поставленная перед директором, оказалась невыполнимой.

Было решено дать об этом телеграмму. Надо сказать, что и телеграф в необыкновенной гостинице был тоже необычным, он передавал телеграммы, состоящие не из конечного, а из бесконечного (точнее говоря, счетного) множества точек и тире. Например, они имели такой вид:

-.-----.--------. и т. д.

Я сразу сообразил, что и множество таких телеграмм тоже несчетно, ведь вместо точек и тире можно ставить нули и единицы, а тогда не будет никакой разницы между телеграммами со счетным множеством знаков и множеством всех вариантов заполнения гостиницы.

Отправив телеграмму, я тепло попрощался с директором гостиницы и полетел в галактику РГЦ-8067, где должен был произвести астрографическую съемку...

Несчетность континуума.

Теперь уже несложно доказать, что множество всех точек на прямой линии несчетно. Вместо этого множества можно говорить о множестве всех действительных чисел, так как каждой точке прямой соответствует действительное число и обратно.

Каждое действительное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби вида

a₁, α₁ α₂ α₃ ... α_n ...

Некоторые из них имеют даже по две записи; например, 0,500000... и 0,49999999... — это одно и то же число. Для определенности будем пользоваться записью с нулями.

Предположим, что нам удалось каким-то образом перенумеровать все действительные числа. Чтобы доказать, что это предположение неверно, достаточно построить хоть одно незанумерованное число. Следуя примеру Иона Тихого, поступим следующим образом.

Сначала напишем нуль и поставим после него запятую. Потом возьмем число, получившее первый номер, и посмотрим на его первый десятичный знак после запятой (то есть на число десятых). Если эта цифра отлична от 1, то в числе, которое мы пишем, поставим после запятой 1, а если эта цифра равна 1, то поставим после запятой 2. Затем перейдем к числу, получившему второй номер, и посмотрим на его вторую цифру после запятой. Снова если эта цифра отлична от единицы, то в числе, которое мы пишем, поставим на месте сотых цифру 1, если же эта цифра является единицей, то поставим цифру 2. Точно так же будем действовать и дальше, каждый раз обращая внимание лишь на n-ю цифру числа, получившего n-й номер. В результате мы выпишем некоторое число, например

N = 0,1121211...

Ясно, что это число не получило никакого номера: в первом десятичном знаке оно отличается от числа с номером 1, во втором — от числа с номером 2, ..., в n-м — от числа с номером n и т. д.

Чтобы читателю стало яснее, как выписывается число, не получившее номера, предположим, что при выбранной нумерации первые пять чисел имеют следующий вид:

Тогда число, не получившее номера, будет начинаться со следующих десятичных знаков:

0,12121 ...

Разумеется, не только это, но и многие другие числа не получили номеров (мы могли бы заменять все цифры, кроме 2, на 2, а цифру 2 на 7 или выбрать еще какое-нибудь правило). Но нам достаточно существования одного-единственного числа, не получившего номера, чтобы опровергнуть гипотезу о возможности нумерации всех действительных чисел.

Существование трансцендентных чисел.

Мы говорили, что алгебраическими числами называют числа, являющиеся корнями уравнений

a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ... + a_n = 0

с целыми коэффициентами. Числа же, не являющиеся корнями таких уравнений, называют трансцендентными.

В течение долгого времени математики имели дело лишь с алгебраическими числами, такими, как

и т. д. Лишь ценой больших усилий французскому математику Лиувиллю[49] удалось найти в 1844 г. несколько трансцендентных чисел. А доказательство трансцендентности числа π, проведенное Линдеманом[50] в 1882 г. было большим научным событием: ведь из него следовала невозможность квадратуры круга.