, т. е. имеет известное значение, определяемое функциею переменных величин; и должно рассмотреть, к чему приводит этот его конкретный смысл. Он должен быть пределом
отношения двух
приращений, на которые признаются
увеличивающимися две переменные величины, соединенные в одном уравнении, из коих одна считается функциею другой; приращение принимается здесь неопределенно и вообще, и поэтому о бесконечно малом нет еще и речи. Но ближайшим образом путь к нахождению этого предела приводит к таким же непоследовательностям, какие свойственны и другим методам. А именно этот путь таков. Если
fx=
y, то, при переходе
у в
у+
k, fx переходит в
fx+
ph+
gh>2+
rh>3 и т. д., следовательно
k=
ph+
gh>2+
rh>3 и т. д. а
k/
h=
p+
gh+
rh>2 и т. д. Если теперь
k и
h исчезают, то исчезают все члены ряда, кроме
p, который и оказывается пределом отношения обоих приращений. Отсюда видно, что хотя
h и
k, как определенные количества, полагаются =0, но что оттого
k/
h еще не обращается в 0/0, но остается некоторым отношением. Но представление
предела должно обладать тем преимуществом, что оно устраняет заключающуюся тут непоследовательность;
р должно быть не тем действительным отношением, которое превратилось в 0/0, но иметь лишь определенное значение, к которому отношение может
приближаться бесконечно, т. е. так, чтобы
разность могла стать менее всякой данной разности. Более определенный смысл
приближения в отношении к тому, что собственно должно между собою сближаться, будет рассмотрен ниже. Но что количественное различие, определяемое не только, как
могущее, но как
долженствующее быть менее всякой данной величины, не есть уже количественное различие, это ясно само по себе и настолько очевидно, насколько может быть что-нибудь очевидно в математике; тем самым,
>{180}однако, мы не подвигаемся далее
dy/
dx=0/0. Если же, напротив,
dy/
dx принимается за
р, т. е. за определенное количественное отношение, как это и есть в действительности, то, наоборот, является затруднение в предположении
h=0, в предположении, путем которого единственно и получается
k/
h=
p. Если же допустить, что
k/
h=0, причем, однако, вместе с
h=0 и самое
k=0 (так как приращение
k имеет место лишь при условии существования
h), то является вопрос, куда же девается
р, которое имеет совершенно определенное количественное значение. На это нам тотчас же дается простой и сухой ответ, что
р есть коэффициент, возникающий путем такого-то вывода — известным определенным образом полученная первая производная функция первоначальной функции. Если удовольствоваться этим ответом, как
по существу дела довольствуется им
Лагранж, то общая часть науки дифференциального исчисления и непосредственно самая та форма, которая именуется
теориею пределов, окажется освобожденною от приращений, от их бесконечной или любой малости, от затруднения, состоящего в том, что кроме первого члена или, правильнее, лишь коэффициента первого члена устраняются дальнейшие члены ряда, кроме тех, которые неустранимы при употреблении данных приращений; кроме того, она очищается и от другого, связанного с этим, от формальных категорий прежде всего бесконечного, далее бесконечного приближения и других столь же пустых категорий непрерывных величин
[26] и всего того, что считается нужным ввести, как
стремление, становление, повод к изменению. Но в таком случае нужно бы было показать, какое еще
значение и
ценность, т. е. какую
связь и какое
употребление для дальнейшей математической потребности, имеет
р, независимо от того совершенно достаточного для теории сухого определения, что оно есть не что иное, как полученная путем развития бинома производная
>{181}функция; об этом будет сказано во втором примечании. Здесь же следует ближайшим образом разобраться в той запутанности, которая вносится через вышеуказанное столь часто встречающееся в изложениях употребление представления
приближения в понимание собственной качественной определенности отношения.
Было указано, что так называемые бесконечно малые разности выражают собою исчезание членов отношения, как количеств, и что то, что остается за сим, есть их количественное отношение лишь постольку, поскольку оно определено качественно; качественное отношение при этом в такой мере сохраняется, что оно оказывается именно тем, что возникает через переход конечных величин в бесконечные. В этом состоит, как мы видели, вся суть дела. Так, напр., в последнем отношении, исчезают, как количества, абсцисса и ордината; но члены этого отношения остаются по существу один — элементом ординаты, другой — элементом абсциссы. По обычному способу представления, состоящему в том, что одна ордината бесконечно приближается к другой, первая ордината переходит во вторую, а соответствующая первой абсцисса — в соответствующую второй; но во всяком случае ордината не переходит в абсциссу, а абсцисса в ординату. Но элемент ординаты, если оставаться при этом примере переменных величин, должен быть понимаем, не как разность одной ординаты от другой, а как различение или качественно-количественное определение относительно элемента абсциссы; принцип одной переменной величины относительно другой
