Учение о бытии - [118]

предмета, например, движения, получали таким образом предметное значение, например, скорости, ускоряющей силы и т. п.; по этому значению они должны были приводить к правильным положениям, к физическим законам, и по их аналитической связи должны были определяться и их объективные связи и отношения, например, то, что в равномерно ускоренном движении существует особая пропорциональная временам скорость, к которой, кроме того, всегда присоединяется приращение, зависящее от силы тяжести. Такие предложения в новом аналитическом виде механики получались исключительно, как результаты вычисления независимо от того, имеют ли они для себя реальный, т. е. соответствующий некоторому существованию смысл и от доказательства этого; затруднение сделать понятною связь таких определений, когда они употреблялись в вышеупомянутом реальном смысле, например, объяснить переход от той ложно равномерной скорости к равномерному ускорению, считалось поэтому совершенно устраненным через аналитическую разработку, в которой сказанная связь есть простое следствие установленного раз навсегда прочного авторитета действий вычисления. Считалось торжеством науки нахождение путем простого возвышающегося над опытом вычисления законов, т. е. предложений о существовании, самих не имеющих существований. Но в первое еще наивное время исчисления бесконечных старались найти и оправдать реальный смысл таких определений и положений, изображенных в геометрических построениях, и применить их в этом смысле к доказательству главных положений, о которых шла речь [ср. ньютоново доказательство его основоположения теории тяготения в Princ. math. philos. naturalis lib. I sect. II prop. 1 сравнительно с астрономиею Шуберта (перв. изд. т. III § 20), где признается, что в пункте, составляющем самый нерв доказательства, нет точности, т. е. дело не совсем таково, как полагает Ньютон].

Нельзя отрицать, что в этой области многое, преимущественно при пособии тумана, напущенного бесконечно малыми, считалось за доказательство только потому, что то, что получалось, всегда было уже заранее известно, и что доказательство, построенное таким образом, что получался подобный вывод, имело по крайней мере видимость остова доказательства, видимость, которую все же предпочитали простой вере или опытному знанию. Но я без всякого колебания признаю эту манеру не за что иное, как за _{184}простое фокусничество и шарлатанство доказательством, и причисляю сюда и ньютоновы доказательства, особенно такие, как вышеприведенное, за которое Ньютона возвысили до небес и превознесли над Кеплером, утверждая, что первый математически доказал то, что второй нашел лишь путем опыта.

Пустой остов таких доказательств воздвигнут для того, чтобы доказать физические законы. Но математика вообще не может доказать количественных определений физики, так как последние суть законы, обоснованные на качественной природе моментов; не может сделать этого по той простой причине, что математика не есть философия, не исходит от понятий, и что поэтому качественное, если только оно не почерпается лемматически из опыта, лежит вне сферы математики. Поставление достоинства математики в том, что все входящие в нее положения должны быть строго доказаны, часто побуждало забывать о ее границе; таким образом, казалось несогласным с ее достоинством считать опыт источником и единственным доказательством опытных предложений; позднее сознание этой истины более развилось; но прежде, чем будет выяснено различие того, что математически доказуемо, и что может быть взято лишь извне, как, например, того, что есть лишь член аналитического развития, и что — физическое существование, научность не может считаться достигшею строгого и чистого состояния. А упомянутому остову ньютонова доказательства противоречит уже то право, которое признано за другим неосновательным искусственным ньютоновым построением из оптических опытов и связанных с ними выводов. Прикладная математика еще полна смешением поровну опыта и рефлексии; но подобно тому, как уже довольно давно одна за другою части этой (ньютоновой) оптики стали фактически игнорироваться наукою с тою, однако, непоследовательностью, что прочие ее части, хотя и с противоречием тому, еще сохраняются, — также точно является фактом, что часть этого обманчивого доказательства сама собою уже пришла в забвение или заменена другими доказательствами.

Примечание 2-е Цель дифференциального исчисления, выведенная из его приложения

В предыдущем примечании рассмотрены отчасти определенность понятия бесконечно малого, находящего употребление в дифференциальном исчислении, отчасти основания его введения в это исчисление; то и другое суть отвлеченные и потому легкие определения; но так называемое приложение представляет более трудностей, равно как более интересных сторон; элементы этой конкретной стороны должны составить предмет настоящего примечания. Весь метод дифференциального исчисления сводится к положению dxⁿ=nx^n-1dx или иначе (f(x+i)—fx)/i=P, т. е. равно коэффициенту первого члена двучлена x+d, x+i, развитого по степеням