Учение о бытии - [112]

) есть произведение или частное, прямоугольники, квадраты, так же стороны прямоугольников, квадратов, вообще конечная величина. «Рассматривая ее, как переменную, как увеличивающуюся или уменьшающуюся в постоянном движении и течении, он означает ее моментальные приращения или убывания названием моментов. Но последние не должны быть принимаемы за части определенных величин (particulae finitae). Последния суть не самые моменты, но величины, произведенные моментами; последние же должны быть понимаемы, как находящиеся в становлении принципы или начала конечных величин». Определенное количество отличено здесь само от себя, с одной стороны, как продукт или существующее, а с другой — в своем становлении, в своем начале или принципе, т. е. в своем понятии или, что то же самое, в своем качественном определении; в последнем количественные различия, бесконечные приращения или убывания, суть лишь моменты; происшедшее есть лишь перешедшее в безразличие существования и во внешность, определенное количество. Но если философия истинного понятия и должна принять эти связанные с приращениями и убываниями определения бесконечного, то все же следует заметить, что самые формы приращения и т. п. находятся внутри категории непосредственного определения количества и вышеупомянутого непрерывного прогресса, и что поэтому представления приращения, прироста, прибавления с dx или i к х и т. п. должны считаться присущим этим методам коренным недостатком, — постоянным препятствием к возвышению от представления обычного определенного количества к чистому определению количественно-качественного момента.

Вышеприведенным определениям далеко уступает представление без_{172}конечно малых величин, связанное с самыми приращением и убыванием. По этому представлению они таковы, что не только они относительно конечных величин, но и высшие их порядки относительно низших, а равно произведения многих их относительно одного, должны быть пренебрегаемы. У Лейбница особенно сильно выступает это требование пренебрежения, находимое также и у предыдущих изобретателей методов, касающихся сказанных величин. Именно это обстоятельство сообщает исчислению, при выигрыше в удобстве, видимость неточности и явной неправильности в ходе его действий. По своему способу популяризовать вещи, т. е. лишать чистоты их понятий и заменять их неправильными чувственными представлениями, Вольф пытался сделать этот прием понятным для рассудка. А именно, он сравнивает пренебрежение бесконечно малыми разностями высших порядков относительно низших с образом действий геометра, измерение которым высоты горы нисколько не делается менее точным, если ветер снесет песчинку с ее вершины, или с пренебрежением высотою домов и башен при вычислениях лунного затмения (Elem. mathes. univ. T. I. Gl. analys. math. p. II, C. I Schol.).

Если суд обычного человеческого рассудка и допускает такую неточность, то все геометры, напротив, отвергают ее. Само собою очевидно, что в науке математики совсем не может быть речи о такой эмпирической точности, и что математическое измерение посредством вычисления или построений и доказательства геометрии, совершенно различно от землемерия, измерения данных на опыте линий, фигур и т. под. Сверх того, как уже было упомянуто, через сравнение результатов, получаемых строго геометрическим путем и посредством метода бесконечно малых разностей, аналитики доказывают, что эти результаты тожественны, и что бóльшая или меньшая степень точности не имеет здесь места. С другой стороны самый прием — пренебрегать величинами вследствие их незначительности — несмотря на оправдание результатами, не может не вызывать протеста. И в этом заключается трудность, побуждающая аналитиков понять и удалить заключающуюся здесь нелепость.

По этому вопросу следует, главным образом, привести мнение Эйлера. Полагая в основание общее определение Ньютона, он настаивает на том, что дифференциальное исчисление рассматривает отношения приращений некоторой величины, причем однако, бесконечно малая разность, как таковая, есть совершенный нуль (Instit. calc. different. Р. I. С. III). Как это следует понимать, видно из вышеизложенного; бесконечно малая разность есть нуль лишь по количеству, а не качественный нуль; но как нуль по количеству она есть лишь чистый момент отношения. Она не есть различие на некоторую величину; но именно потому с одной стороны вообще ошибочно называть эти моменты, именуемые бесконечно малыми величинами, также приращениями и убываниями и разностями. В основе этого определения лежит то предположение, что нечто прибавляется к предварительно данной конечной величине или убавляется от нее, что происходит вычитание или сложение, некоторое арифметическое, внешнее действие. Переход от функции переменной величины к ее дифференциалу должно, напротив, пони_{173}мать так, что последний имеет совершенную отличную от нее природу, именно, как было объяснено, что он есть возврат конечной функции к качественному отношению ее количественных определений. С другой стороны, ошибочным оказывается и то, когда говорят, что приращения суть для себя нули, что следует принимать в расчет лишь их отношения; ибо нуль вообще не имеет никакой определенности. Хотя это представление и доходит таким образом до отрицания количественного и определенно высказывает его, но оно не схватывает этого отрицания вместе и в его положительном значении качественно-количественных определений, которые становятся нулями, лишь будучи вырваны из отношения и приняты за определенные количества.