Учение о бытии - [110]
Но есть еще дальнейшая ступень, на которой математическое бесконечное выступает в своем своеобразии. В уравнении, в котором х и у положены, как определенные ближайшим образом степенным отношением, х и у, как таковые, должны еще означать определенные количества; между тем это значение совершенно утрачивается в так называемых бесконечно малых разностях; dx, dy уже не суть определенные количества и не должны обозначать их, но имеют значение лишь в своем отношении, сохраняют смысл, лишь как моменты. Они уже не есть нечто, если принимать нечто за определенное количество, не суть конечные разности; но они также не суть и ничто, неопределенный нуль. Вне своего отношения они суть чистые нули, но должны быть принимаемы за моменты отношения, за определения дифференциального коэффициента dx/dy.
В этом понятии бесконечного определенное количество завершается в действительности в качественное существование; оно полагается, как истинно бесконечное; оно снимается, не как то или иное определенное количество, но как количество вообще. Но при этом сохраняется количественная определенность, как элемент определенных количеств, как принцип, или, как было также сказано, в ее первом понятии.
Против этого понятия и направлено все то нападение, которому подвергнулось основное определение математики этого бесконечного, дифференциального и интегрального исчисления. Неправильные представления математиков сами послужили поводами к тому, что оно не было признано, в особенности же вина падает тут на неспособность оправдания этого предмета, как понятия. Между тем, как уже было упомянуто выше, математика не может тут обойти понятия; ибо, как математика бесконечного, она не ограничивается конечною определенностью своих предметов, как например поступает чистая математика, когда рассматривает пространство и время их определения и приводит их в соотношения лишь со стороны их конечности; но она приводит принятое ранее и рассмотренное ею определение в тожество с противоположным ему, превращая, например, кривую линию в прямую, круг в многоугольник и т. п. Поэтому действия, к которым она позволяет себе прибегать в дифференциальном и интегральном исчислении, по их природе совершенно противоречат конечным определениям и их отношениям, и находят, стало быть, свое оправдание лишь в понятии.
Если математика бесконечного держится за то, что эти количественные определения суть исчезающие величины, т. е. такие, которые не суть уже какие->{169}либо определенные количества, но не суть и ничто, а сохраняют еще известную определенность относительно другого, то представляется, по-видимому, совершенно ясным, что нет такого так называемого среднего состояния между бытием и ничто. Что можно сказать по поводу этого выражения и так называемого среднего состояния, указано уже по поводу категории становления (примеч. 4). Но, конечно, единство бытия и ничто не есть состояние; состояние было бы таким определением бытия и ничто, в котором эти моменты сочетались бы лишь случайно, как бы вследствие болезни и внешнего воздействия ошибочного мышления; между тем эта середина или это единство, исчезание, которое есть вместе с тем становление, есть, напротив, их единственная истина.
То, что бесконечно, говорят далее, несравнимо, как большее или меньшее, поэтому не может быть отношения бесконечного к бесконечному по порядкам или достоинствам бесконечного, каковые различия бесконечных разностей признаются и в науке. Это уже упомянутое ранее выражение основывается опять-таки на том представлении, что здесь идет речь об определенных количествах, сравниваемых, как определенные количества, и что определения, которые уже не суть определенные количества, не могут находиться между собою в отношении. Между тем именно то, что находится только в отношении, и не есть определенное количество; определенное количество есть такое определение, которое вне своего отношения должно иметь совершенно безразличное существование, быть безразличным к своему различию от чего-либо другого, тогда как, напротив, качественное есть лишь то, что оно есть в своем различии от другого. Все бесконечные величины поэтому не только сравнимы, но суть лишь моменты сравнения или отношения.
Я приведу главнейшие определения, которые дает математика относительно своего бесконечного; из них будет видно, что в основе их лежит мысль, согласная с развитым здесь понятием, но что высказывавшие ее не обосновали ее, как понятие, и в приложении ее прибегли опять-таки к вспомогательным средствам, противоречащим их наилучшим намерениям.
Эта мысль не может быть определена правильнее, чем то сделал Ньютон. Я оставляю здесь в стороне определения, принадлежащие представлению движения и скорости (от которых он и заимствовал название
