Трехмерный мир. Евклид. Геометрия - [14]

Шрифт
Интервал

Первая книга — единственная из всех томов «Начал», которая содержит и общие понятия, и постулаты. В первых трех, как мы уже сказали, упоминаются приемлемые инструменты для построения геометрических объектов, и, следовательно, они имеют большое значение для решения задач. Оставшиеся два важны для определения природы евклидовой геометрии. Книга I ставит и другие вопросы: движение, искривление, бесконечность, метод танграма (о нем мы поговорим в главе 4) и так далее. Рассмотрим, каким образом четвертый постулат «Начал» связан с движением в геометрии. Согласно ему все прямые углы равны между собой.

В определении 10 из книги I читаем:

Когда прямая, восставленная на другой прямой, образует рядом углы, равные между собой, то каждый из равных углов есть прямой.

Если оба угла равны, они являются прямыми (рисунок 1). Возникает вопрос: равна ли эта пара углов другой паре, то есть равны ли все прямые углы, а не только парные? Четвертый постулат дает положительный ответ.

В конкретном случае прямых углов Евклид предполагает некую однородность плоскости. Таким образом, этот постулат включает в себя движение фигур, что предусматривает также общее понятие 5, но мы не можем прибегать к общему понятию для решения чисто геометрической задачи. В евклидовой геометрии нет ни одного постулата, в котором говорилось бы, что две наложенные друг на друга фигуры равны. Другими словами, общее понятие 5 должно быть постулатом, как мы уже говорили в главе 2. Несмотря на это Евклид не смог избежать понятия движения, хотя использовал его в редких случаях, например в пространственной геометрии, когда создавал конус и шар путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов и круга вокруг его диаметра. Он также использовал это понятие в предложениях 4 и 8 первой книги для установления признаков равенства треугольников по стороне, углу и стороне и по трем сторонам. Однако в критерии равенства по углу, стороне и углу удается избежать движения. Рассмотрим первый случай.

Книга I, предложение 4. Если два треугольника имеют по две стороны, равные между собой, и по равному углу, содержащемуся между равными прямыми, то они будут иметь и равные основания, и один треугольник будет равен другому.

РИС. 1

Согласно определению 10, пары углов α, β; γ, δ и ε, ζ равны. То есть α = β, γ = δ, ε = ζ. Следовательно, и α, и β, и γ, и δ, и ε, и ζ являются прямыми углами.


Его доказательство полностью основывается на наложении двух треугольников и на общем понятии 5 и выглядит так: наложим треугольники АВС и А'В'С' один на другой (движение) так, чтобы угол АВС совпал с углом А'В'С'. Очевидно, что стороны АВ и ВС накладываются на стороны А'В' и В'С. Но через точки А [=А'] и С [=С] проходит только одна прямая (общее понятие 7). Следовательно, треугольники полностью совпадают и, согласно общему понятию 4, они были равны и до их перемещения. Таким образом, треугольники АВС и А'В'С равны. Здесь необходимо уточнить, что непоследовательное использование движения не является ошибкой Евклида.

Единственный способ быть последовательными в этом случае — принять это предложение как постулат, что сделал много веков спустя немецкий математик Давид Гильберт (1862-1943) в своей строгой аксиоматизации геометрии.

РИС. 2


ПРЯМАЯ, КОТОРОЙ НИКОГДА НЕ БЫЛО

Несмотря на определения 2, 3 и 4 из книги I, Евклид ни разу не объяснил, что такое прямая, каковы ее свойства и каким критериям она должна отвечать. Тем не менее он ясно определил, что прямые конечны и их концами являются точки. В действительности Евклид занимался отрезками прямых. Но когда он говорит о равной длине диаметра в определении круга, то использует понятие расстояния. Для прямых его применил позже Архимед в первой аксиоме своего сочинения «О шаре и цилиндре»: «Прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками». Как мы увидели на примере предложения 4, Евклид использовал постулаты, не устанавливая их. В доказательстве предложения 1 книги I, проанализированном в главе 2, содержится утверждение, которое мы сейчас подробно рассмотрим:

Проведем прямые СА и СВ из точки пересечения двух окружностей С.

Что может служить гарантией существования точки С по Евклиду? Ничего, кроме рисунка, иллюстрирующего доказательство. Но это неприемлемо, так как рисунок может считаться правильным, только если точка С существует (вспомним изображения невозможных треугольников, использующиеся в доказательствах методом доведения до абсурда).


ИСКРИВЛЕНИЕ ФИГУР

Вопрос искривления возникает в «Началах» неявно. Перед тем как перейти к постулату о параллельных прямых, Евклид устанавливает очень интересный результат:

Книга I, предложение 17. Во всяком треугольнике сумма двух любых углов меньше двух прямых углов.

Чтобы правильно понять эту задачу, мы должны внимательно следовать за рассуждениями Евклида. Он хочет доказать, что сумма углов


Рекомендуем почитать
Алексей Васильевич Шубников (1887—1970)

Книга посвящена жизни и творчеству выдающегося советского кристаллографа, основоположника и руководителя новейших направлений в отечественной науке о кристаллах, основателя и первого директора единственного в мире Института кристаллографии при Академии наук СССР академика Алексея Васильевича Шубникова (1887—1970). Классические труды ученого по симметрии, кристаллофизике, кристаллогенезису приобрели всемирную известность и открыли новые горизонты в науке. А. В. Шубников является основателем технической кристаллографии.


Квантовая модель атома. Нильс Бор. Квантовый загранпаспорт

Нильс Бор — одна из ключевых фигур квантовой революции, охватившей науку в XX веке. Его модель атома предполагала трансформацию пределов знания, она вытеснила механистическую модель классической физики. Этот выдающийся сторонник новой теории защищал ее самые глубокие физические и философские следствия от скептиков вроде Альберта Эйнштейна. Он превратил родной Копенгаген в мировой центр теоретической физики, хотя с приходом к власти нацистов был вынужден покинуть Данию и обосноваться в США. В конце войны Бор активно выступал за разоружение, за интернационализацию науки и мирное использование ядерной энергии.


Магнетизм высокого напряжения. Максвелл. Электромагнитный синтез

Джеймс Клерк Максвелл был одним из самых блестящих умов XIX века. Его работы легли в основу двух революционных концепций следующего столетия — теории относительности и квантовой теории. Максвелл объединил электричество и магнетизм в коротком ряду элегантных уравнений, представляющих собой настоящую вершину физики всех времен на уровне достижений Галилея, Ньютона и Эйнштейна. Несмотря на всю революционность его идей, Максвелл, будучи очень религиозным человеком, всегда считал, что научное знание должно иметь некие пределы — пределы, которые, как ни парадоксально, он превзошел как никто другой.


Знание-сила, 2006 № 12 (954)

Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.


Занимательное дождеведение: дождь в истории, науке и искусстве

«Занимательное дождеведение» – первая книга об истории дождя.Вы узнаете, как большая буря и намерение вступить в брак привели к величайшей охоте на ведьм в мировой истории, в чем тайна рыбных и разноцветных дождей, как люди пытались подчинить себе дождь танцами и перемещением облаков, как дождь вдохновил Вуди Аллена, Рэя Брэдбери и Курта Кобейна, а Даниеля Дефо сделал первым в истории журналистом-синоптиком.Сплетая воедино научные и исторические факты, журналист-эколог Синтия Барнетт раскрывает удивительную связь между дождем, искусством, человеческой историей и нашим будущим.


Охотники за нейтрино. Захватывающая погоня за призрачной элементарной частицей

Эта книга – захватывающий триллер, где действующие лица – охотники-ученые и ускользающие нейтрино. Крошечные частички, которые мы называем нейтрино, дают ответ на глобальные вопросы: почему так сложно обнаружить антиматерию, как взрываются звезды, превращаясь в сверхновые, что происходило во Вселенной в первые секунды ее жизни и даже что происходит в недрах нашей планеты? Книга известного астрофизика Рэя Джаявардхана посвящена не только истории исследований нейтрино. Она увлекательно рассказывает о людях, которые раздвигают горизонты человеческих знаний.