Трехмерный мир. Евклид. Геометрия - [13]

Шрифт
Интервал


Обратим внимание на то, что Евклид прибегает к определениям, уже доказанным предложениям, общим понятиям и постулатам. С их помощью, последовательно связывая рассуждения и построения, мы достигаем искомого результата исходя из заданных условий. Простота этих доказательств придает им большое изящество.

Но иногда Евклид прибегает и к косвенному методу доведения до абсурда. Этот способ заключается в постулировании утверждения, обратного тому, которое требуется доказать, — здесь Евклид и читатель должны быть согласны друг с другом. Путем рассуждений мы приходим одновременно к некоему предложению и к его отрицанию, то есть к неприемлемому результату. Следовательно, исходное утверждение оказывается неверным, а обратное ему, которое и требовалось доказать, истинно. Здесь кроется логический принцип, который Евклид нигде не объясняет отдельно: из двух обратных друг другу утверждений — когда одно является отрицанием другого — одно обязательно будет верным, а другое ложным. Хотя Евклид и никогда не описывал метод доведения до абсурда, он часто прибегал к нему. Этот метод доказательства по своему существу можно считать аристотелевским; его с трудом можно вписать в анализ, скорее он лежит в области синтеза.

Фрагмент папируса с рисунком, иллюстрирующим предложение 5 книги II Евклида, найденный при раскопках Оксиринха (Пемжде), древнего города в 160 км от Каира.


Изложение в рисунках первого предложения книги I. Оливье Бирн(1810- 1890).


АРИСТОТЕЛЬ И ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ √2

Для доказательства того, что не существует ни одного числа, которое в квадрате было бы равно двум, философ использовал метод доведения до абсурда.

Нет причин для существования числа, квадрат которого был бы равен 2.

На современном языке это означает, что квадратный корень из числа 2 — иррациональное число. Аристотель сначала принимает истинным противоположный постулат о том, что это число рациональное, и приходит к заключению: в таком случае «четное число одновременно есть также и нечетное», а это невозможно. Запишем его рассуждения в современном виде.

Предположим (дополнительная гипотеза), что

2 = m²/n²

где m и n — два числа разной четности. Следовательно, 2n = m. Тогда, если m — четное число (то есть m = 2m'), то n — нечетное. Следовательно, 2n = 4m'. То есть n = 2m', и n — четное.


Теперь рассмотрим еще один пример, который показывает, что, используя метод доведения до абсурда, Евклид прибегал к идеальным математическим объектам. Как мы уже сказали, при доказательстве необходимо установить, что построенные математические объекты правильны. Тем не менее метод доведения до абсурда предполагает, что в начале допускается существование неких математических объектов, как если бы они были реальными. Потом доказывается, что эта предпосылка ошибочна, то есть требуется построение объектов, которые не могут быть построены.

Эту проблему можно решить, приняв тот факт, что процесс построения происходит только в идеальной области фигур. Например, представим себе круг и прямую: они пересекаются или в двух точках, или в одной (в случае с касательной), или вообще не пересекаются. Если они пересекаются в двух точках, то эти точки существуют в идеальной геометрии, или, иначе говоря, в геометрической методологии. Например:

РИС. 1


Книга I, предложение 6. Если у треугольника два угла равны, то и противоположные им стороны равны.

Евклид рассматривает фигуру на рисунке 1 (треугольник АВС с равными углами СВА и АСВ, у которого при этом противоположные стороны АВ и АС неравны; например, одна, АВ, длиннее АС).

Но такого треугольника не существует. Это иллюстрация дополнительного постулата, который оказывается ложным.

Рисунок 2 проясняет ход рассуждений Евклида. Мы и включаем его в эту главу, поскольку на его примере видны трудности использования ошибочных фигур. Они используются, чтобы облегчить понимание доказательства, но этой цели труднее достичь, когда фигуры заведомо невозможны.

РИС. 2


В таких доказательствах нет простоты, характерной для анализа, но в них видна глубина знаний геометрии и логико-дедуктивного метода, присущего синтезу. Необходимо упомянуть, что эта доказательная техника пришлась по нраву не всем древнегреческим геометрам, поэтому в различных комментариях к «Началам» встречаются и другие доказательства, приведенные, чтобы избежать ее. Яркий тому пример — Герои Александрийский.

Так или иначе, структура «Начал» была достаточно солидной, чтобы затмить все предшествующие им трактаты. Возможно, именно в разработке этой структуры и заключается главное наследие Евклида. Теперь мы перейдем к изучению содержания: рассмотрим книгу I и метод танграма, роль бесконечности, значение и происхождение постулата о параллельных, природу и значение иррациональных величин, а также метод исчерпывания, построение Платоновых тел и, наконец, величайший вклад в науку Пифагора — арифметику.


ГЛАВА 3

Книга I и геометрия Вселенной

При изучении первой книги «Начал» мы сталкиваемся с фундаментальными вопросами евклидовой геометрии. Некоторые из них сугубо технического толка, а другие, более интересные, затрагивают отношение геометрии к проблеме бесконечности или соотнесение абстрактных геометрических фигур с окружающей действительностью. Благодаря вопросу, вытекающему из знаменитого постулата о параллельных прямых, мы проделаем путешествие во времени сквозь два тысячелетия, вплоть до неевклидовой геометрии, совершившей революцию в науке XIX века.


Рекомендуем почитать
Алексей Васильевич Шубников (1887—1970)

Книга посвящена жизни и творчеству выдающегося советского кристаллографа, основоположника и руководителя новейших направлений в отечественной науке о кристаллах, основателя и первого директора единственного в мире Института кристаллографии при Академии наук СССР академика Алексея Васильевича Шубникова (1887—1970). Классические труды ученого по симметрии, кристаллофизике, кристаллогенезису приобрели всемирную известность и открыли новые горизонты в науке. А. В. Шубников является основателем технической кристаллографии.


Квантовая модель атома. Нильс Бор. Квантовый загранпаспорт

Нильс Бор — одна из ключевых фигур квантовой революции, охватившей науку в XX веке. Его модель атома предполагала трансформацию пределов знания, она вытеснила механистическую модель классической физики. Этот выдающийся сторонник новой теории защищал ее самые глубокие физические и философские следствия от скептиков вроде Альберта Эйнштейна. Он превратил родной Копенгаген в мировой центр теоретической физики, хотя с приходом к власти нацистов был вынужден покинуть Данию и обосноваться в США. В конце войны Бор активно выступал за разоружение, за интернационализацию науки и мирное использование ядерной энергии.


Магнетизм высокого напряжения. Максвелл. Электромагнитный синтез

Джеймс Клерк Максвелл был одним из самых блестящих умов XIX века. Его работы легли в основу двух революционных концепций следующего столетия — теории относительности и квантовой теории. Максвелл объединил электричество и магнетизм в коротком ряду элегантных уравнений, представляющих собой настоящую вершину физики всех времен на уровне достижений Галилея, Ньютона и Эйнштейна. Несмотря на всю революционность его идей, Максвелл, будучи очень религиозным человеком, всегда считал, что научное знание должно иметь некие пределы — пределы, которые, как ни парадоксально, он превзошел как никто другой.


Знание-сила, 2006 № 12 (954)

Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.


Занимательное дождеведение: дождь в истории, науке и искусстве

«Занимательное дождеведение» – первая книга об истории дождя.Вы узнаете, как большая буря и намерение вступить в брак привели к величайшей охоте на ведьм в мировой истории, в чем тайна рыбных и разноцветных дождей, как люди пытались подчинить себе дождь танцами и перемещением облаков, как дождь вдохновил Вуди Аллена, Рэя Брэдбери и Курта Кобейна, а Даниеля Дефо сделал первым в истории журналистом-синоптиком.Сплетая воедино научные и исторические факты, журналист-эколог Синтия Барнетт раскрывает удивительную связь между дождем, искусством, человеческой историей и нашим будущим.


Охотники за нейтрино. Захватывающая погоня за призрачной элементарной частицей

Эта книга – захватывающий триллер, где действующие лица – охотники-ученые и ускользающие нейтрино. Крошечные частички, которые мы называем нейтрино, дают ответ на глобальные вопросы: почему так сложно обнаружить антиматерию, как взрываются звезды, превращаясь в сверхновые, что происходило во Вселенной в первые секунды ее жизни и даже что происходит в недрах нашей планеты? Книга известного астрофизика Рэя Джаявардхана посвящена не только истории исследований нейтрино. Она увлекательно рассказывает о людях, которые раздвигают горизонты человеческих знаний.