Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике - [32]
Решение Софи посвятить жизнь науке было совершенно неслыханным по тем временам. Но Софи твердо стояла на своем, и родным оставалось только смириться с ее выбором. В недавно основанную в Париже Политехническую школу, где преподавали ученые уровня Лагранжа, женщины не допускались. В 18 лет Софи выдала себя за бывшего ученика этой школы и друга ее семьи Антуана Огюста Леблана, чтобы обзавестись конспектами лекций. Под этим же псевдонимом она представила Лагранжу несколько своих работ. Потрясенный, он назначил ей встречу. Софи не оставалось другого выхода, кроме как раскрыть свое лицо, и Лагранж, очень удивившись, предложил ей заниматься у него, что, в свою очередь, позволило ей участвовать в научных собраниях.
Под тем же псевдонимом Жермен поддерживала переписку с Гауссом. Узнав настоящее имя Жермен, в 1806 году Гаусс пишет ей: «Вкус к абстрактным наукам и, прежде всего, к загадкам чисел сам по себе редок. <…> Но когда женщина из-за своего пола и наших предрассудков встречается со значительно более трудными препятствиями, чем мужчина… и преодолевает эти барьеры и проникает в тайны мироздания, она, несомненно, проявляет благородную смелость, исключительный талант и высшую гениальность». В 1811 году Жермен стала единственной участницей конкурса, который проводила академия наук с целью найти математические основы колебаний тонких пластинок. Ей отказывали дважды, и в 1816 году она наконец выиграла премию и стала первой женщиной, получившей право посещать заседания академии (не считая жен членов академии). В 1830 году Гёттингенский университет присуждает ей почетную степень, но через год Жермен умирает, так и не успев получить ее.
Софи Жермен.
* * *
Он показал, что если р — простое число, такое, что либо 4р + 1, либо 8р + 1, либо 10р + 1, либо 14р + 1, либо 16р + 1 — простое, то первый случай теоремы Ферма доказан для данного показателя степени р. Лишь в 1977 году Тержанян доказал первый случай для всех четных показателей степени 2р, где р — простое.
Если, например, мы рассмотрим показатель степени р = 5, то заметим, что 2р + 1 = 11 — также простое число. Следовательно, согласно результатам Жермен, первый случай теоремы Ферма для этого значения доказан. Напротив, для р = 7 получим 2р + 1 = 15, которое не является простым. Если руководствоваться только результатами Жермен, то для этого значения р теорема не доказана. Однако 4р + 1 = 29 — простое, следовательно, если учитывать результаты Лежандра, первый случай теоремы Ферма доказан.
Доказательство Ламе
1 марта 1847 Габриель Ламе сделал грандиозное заявление в Парижской академии наук. Он нашел долгожданное доказательство теоремы Ферма для всех случаев! Этот французский ученый представил научному сообществу рассуждения, которые привели к такому результату. Рассуждения были просты и основывались на результатах, ранее полученных другими математиками. Он рассматривал поле комплексных чисел, где квадратный корень из минус единицы, √-1 существует и обозначается буквой i. На этом множестве х>2 + у>2 превращается в произведение двух комплексных чисел (х + yi)(x — yi), таким образом, происходит переход от сложения к умножению. Теорема о прямоугольном треугольнике вместо традиционного вида
х>2 + у>2 = z>2
записывается так:
(х + yi)(x — yi) = z>2.
Последнее уравнение можно решить на множестве комплексных чисел в виде х + yi, где х, у — целые (это подмножество комплексных чисел получило название гауссовых чисел). Здесь х — вещественная часть, у — мнимая часть. Это множество во многом похоже на множество целых чисел: на нем без проблем можно выполнять операции сложения, вычитания и умножения. Также на нем можно определить делимость и простые числа. Кроме того, на нем справедлива основная теорема арифметики: любое число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей. Интересным следствием этой теоремы является следующий факт: если произведение двух взаимно простых чисел является квадратом, то каждое из этих двух чисел также обязательно является квадратом. Согласно этим рассуждениям поиск пифагоровой тройки равносилен нахождению примитивных решений х, у, z уравнения х>2 + у>2 = z>2, то есть такого решения, где х, у, z не имеют общих делителей.
В подобном решении гауссовы числа х + yi, х — yi также не должны иметь общих делителей. Таким образом, необходимо найти два взаимно простых гауссовых числа, таких, что их произведение является квадратом.
В итоге если мы имеем примитивное решение для уравнения х>2 + у>2 = z>2, то получим произведение двух взаимно простых гауссовых чисел, которое является квадратом. Следовательно, каждое из этих чисел также должно являться квадратом. Имеем:
х + yi = (а + bi)>2 = а>2 + 2аbi + (bi)>2 = а>2 — Ь>2 + 2аbi.
Приравняв вещественные и мнимые части по отдельности, получим:
х = а>2 — Ь>2,
у = 2аЬ.
Эта формула упоминается уже в «Началах» Евклида и служит для нахождения пифагоровых троек. Ламе в своем доказательстве использовал аналогичные рассуждения. Уравнение Ферма х>р + у>р = z>p с помощью комплексных чисел преобразуется в произведение. В этом случае множители должны содержать корни
