Том 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света - [7]

Направление сторон основания: север — юг.

Зная длину стороны основания и высоту пирамиды, нетрудно вычислить углы наклона ее граней и ребер. Однако при этом мы воспользуемся методами тригонометрии, неизвестными древним египтянам. Как же им удалось придать пирамиде желаемую форму и размеры?

Для ответа на вопрос решим три математические задачи.

1. Как были изготовлены каменные блоки в форме прямых призм?

2. Как на земле отмечались прямые углы квадратного основания пирамиды?

3. Как были возведены треугольные грани под углом в 52°?

Чтобы изготовить из каменного блока неправильной формы прямоугольную призму, мастера сначала отмечали на нем прямую линию. Для этого они могли натянуть смоченную краской веревку подобно тетиве лука. Веревка указывала на неровной поверхности направление распила. Проверить направление можно было по деревянной рейке и визирной линии. Далее мастер выполнял эти же действия с другого края блока так, чтобы отмеченные линии были параллельны. Параллельность определялась на глаз. Этих линий было достаточно для того, чтобы сформировать первую плоскую сторону блока. Даже сегодня некоторые строители считают, что по визиру линии определяются точнее, чем с помощью натянутой веревки.

При помощи угольника аналогичные построения можно провести для следующей грани и так далее. Как видите, изготовить прямоугольный блок непросто, а потери материала у неопытного мастера могут достигать половины объема исходного блока.

Теперь, возможно, вы задумались, как мастера изготавливали угольники и обеспечивали перпендикулярность сторон? Этот вопрос приводит нас ко второй задаче — задаче о построении прямого угла на земле. Как египтяне 4 тысячи лет назад строили прямые углы?

Треугольник со сторонами длиной 3, 4 и 3 м называется египетским. Предполагается, что он использовался для построения прямых углов еще во времена фараонов и до сих пор по-прежнему применяется в разных странах мира, в частности в Испании, Аргентине и Швеции, пусть и в пропорционально уменьшенном виде (со сторонами 30, 40 и 50 см). Возможно, именно так египтяне размечали прямые углы основания великой пирамиды.

Еще один возможный метод построения — метод Евклида. Этот математик жил намного позже, спустя примерно 2 тысячи лет после того, как были построены великие пирамиды, но описанный им метод построения перпендикуляра к отрезку, возможно, был известен задолго до того, как Евклид привел его доказательство.

Это же можно предположить и о знаменитой теореме, носящей его имя. Египтяне 4 тысячи лет назад, возможно, действовали следующим образом. Вершина прямого угла в основании пирамиды помещалась в точке Р. Затем строилась прямая r, проходившая через Р в том же направлении, что и будущая сторона пирамиды. Далее на прямой r обозначались две точки Q и Q', равноудаленные от Р (эти точки можно отметить с помощью веревки). Наконец, при помощи той же веревки той же мерой PQ = PQ' (хотя могла использоваться и любая другая) строились две дуги окружности. Точка пересечения этих дуг располагалась на перпендикуляре к прямой, как показано на рисунке.

Питер Ходже и некоторые другие специалисты по строительству, изучавшие методы древних египтян, считают более вероятным иной способ. Одно из приводимых ими объяснений заключается в том, что в Древнем Египте прямой угол имел первостепенное значение и вряд ли связывался с окружностями. Вспомним, к примеру, что египетские фрески нарисованы поверх прямоугольных сеток, а многие здания, в том числе построенные значительно позже, также имеют форму прямоугольников.

Возможно, прямые углы строились следующим образом. Сначала, как и в предыдущем случае, через точку Р — будущую вершину квадрата — проводилась прямая r, на которой отмечались точки Q и Q', равноудаленные от Р. Затем на веревке s, одним концом привязанной к Р, отмечалась точка R. Когда расстояние RQ становилось равным RQ' веревка s располагалась перпендикулярно прямой r.

Иными словами, угол α становился прямым.

Этот метод основан на построении равнобедренного треугольника, в котором отрезок PR является высотой.

И наконец, как египтяне возвели грани пирамид под углом в 52 °? Смысл этого вопроса, сформулированного в терминах современной математики, состоит в следующем: как египтяне обеспечили нужный наклон граней пирамиды? Специалисты предполагают, что наклон определялся скорее как отношение между высотой и основанием пирамиды, а не как угол. Учитывая, что тангенс угла определяется именно как отношение высоты пирамиды к половине ее основания, получим

Значит ли это, что строители великой пирамиды стремились обеспечить именно такой угол наклона граней? Быть может, за основу был взят угол наклона ребер, равный 42°?

Но почему выбраны именно такие углы? Может быть, они как-то связаны с египетскими традиционными мерами длины и равнялись какому-то круглому числу пальцев, ладоней или локтей? Ответить на эти вопросы сложно, ведь соотношение этих мер и современных мер длины в разных источниках отличается. К примеру, египетский царский локоть, который использовался при строительстве пирамиды Хеопса, по всей видимости, был равен 52,4 см. В последующие тысячелетия локоть составлял от 31,6 до 51 см. Если считать, что царский локоть действительно имел указанную длину, то высота великой пирамиды составит 280 локтей, а длина стороны основания — 440 локтей. Соотношение между этими величинами равно 7/11.