Том 35. Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение - [14]

Композиция преобразований S и R.

Вершины будут располагаться в порядке 2—1—3. Таким образом, результаты движений SR и RS отличаются.

46

ЛЕВИ-СТРОСС: Но RS — тоже симметрия.

Преобразование RS — симметрия.

ВЕЙЛЬ: Да, и ее ось проходит через третью вершину. Для того чтобы при симметрии треугольник оставался неизменным, ось симметрии должна проходить через его центр и одну из вершин. На основе R и S можно определить все возможные разновидности такой симметрии. Если ось симметрии проходит через вторую вершину, это симметрия SR, если через третью — RS. Добавив к ним собственно симметрию S, ось которой проходит через первую вершину, получим полный перечень:

S, SR и RS — все возможные виды симметрии, оставляющие треугольник неизменным.

Виды симметрии, оставляющие треугольник неизменным.

ЛЕВИ-СТРОСС: Послушайте, господин Вейль, чтобы мы могли составить композицию двух преобразований, они обязательно должны отличаться?

47

ВЕЙЛЬ: Вовсе нет. Ничто не мешает применить одно и то же преобразование несколько раз подряд. Так как поворот фигуры два раза подряд на 120° равносилен повороту на 240°, движение RR также будет поворотом, при котором треугольник остается неизменным. Вместо RR будем записывать R². Если мы повернем фигуру еще на 120°, она совпадет с исходной. Таким образом, R3 никак не изменяет треугольник. Мы не учли преобразование, которое оставляет порядок следования вершин неизменным — 1—2—3. Будем называть это преобразование тождественным и обозначим его через I. Обратите внимание, что композицией тождественного преобразования и любого другого движения будет это движение.

Мы доказали, что R³ = I, так как результатом трех поворотов является исходная фигура. Говорят, что порядок R равен трем. В общем случае порядок преобразования указывает, сколько раз его нужно применить, чтобы получить тождественное преобразование. S имеет порядок, равный двум — если мы повторим симметрию дважды, то получим исходный треугольник. Мы уже показали, что S, RS и SR — симметрии треугольника. Какие повороты оставляют фигуру неизменной? Обратите внимание, что поворот обладает этим свойством только тогда, когда угол поворота кратен 120°. Следовательно, все возможные повороты — это R, R² и R³ = I.

Повороты, оставляющие треугольник неизменным.

Мы описали все возможные виды симметрии (S, RS и SR) и все повороты (I, R, R²). Преобразования, оставляющие треугольник неизменным, определяются тем, как они меняют порядок его вершин. Так как поменять вершины треугольника местами можно всего шестью способами, мы описали все преобразования, обладающие этим свойством. Мы знаем, каковы результаты R и S, но не знаем, что получится, если мы применим сначала поворот R, а затем симметрию RS.

48

Преобразование (RS) R.

Как видите, при композиции этих преобразований порядок следования вершин меняется с 1—2—3 на 1—3—2. Таким же будет порядок вершин и при симметрии S, значит, (RS)R = S.

ЛЕВИ-СТРОСС: А что означают скобки?

ВЕЙЛЬ: Скобки указывают, в каком порядке выполняется композиция преобразований. Обратите внимание, что запись RSR априори неоднозначна: следует ли выполнить сначала преобразование R, а затем RS, как мы только что сделали, или же применить сначала SR, а затем R? В первом случае запишем (RS)R, во втором — R(SR). Результаты этих преобразований могут отличаться. Рассмотрим в качестве примера вычитание натуральных чисел. Результаты

7 - (5 - 3) = 7 - 2 = 5

и

(7 - 5) - 3 = 2 - 3 = -1

отличаются, и здесь крайне важно, как располагаются скобки. Впрочем, нам повезло: преобразования (RS)R и R(SR) совпадают.

Преобразования R(SR) и (RS)R совпадают.

ЛЕВИ-СТРОСС: Столько информации! У меня голова идет кругом!

ВЕЙЛЬ: Неудивительно. Предлагаю вам представить результаты в «таблице умножения», подобной той, что мы учили в школе. В каждой клетке запишем композицию преобразований, указанных в соответствующей строке и столбце. Первой всегда будет преобразование, указанное в столбце, как показано стрелкой.

49

Пока что я записал в таблице только те преобразования, результат которых мы уже знаем: композицией любого преобразования и тождества будет исходное преобразование, RSR = S, a R³ = S² = I. Эти результаты позволяют нам найти результат, например SRSR. Так как мы можем расставить скобки произвольным образом, получим: SRSR = S(RSR). Согласно приведенным выше равенствам, RSR = S, следовательно, SRSR= SS = S² — это тождественное преобразование, так как порядок симметрии S равен двум. Следовательно, SRSR = I. Но таблица еще не закончена. Не хватает еще нескольких композиций, в частности SRS. Чтобы определить ее результат, напомню, что RSR = S. Если приписать в обе части равенства R², получим R²RSR = R²S. Мы знаем, что R²R = R³ = I, следовательно, SR = R²S.

Мы получили еще одну композицию, результат которой известен. Мы по-прежнему можем приписать S в обе части равенства, на этот раз — справа. Получим SRS = R²S², но так как S² = I, имеем SRS = R². Добавим результаты в таблицу.

Но таблица все еще не закончена: не хватает композиций R²SR, SR², RSR², RSRS и SR²S. Их результаты можно получить на основе тех, что приведены выше — попробуйте сами! К примеру, R