Том 32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление - [19]

Эффект бабочки (чувствительность к начальным условиям) и так называемый эффект карточной колоды, заключающийся в растяжении и складывании траекторий, были сокрыты в гомоклинических сетях Пуанкаре. Оба этих признака хаоса проявились в виде аттрактора Лоренца и подковы Смэйла. Строго говоря, изучение гомоклинических сетей уже натолкнуло Смэйла на мысли о соленоиде и подкове, растяжение и складывание траекторий в которых являются характерными признаками хаоса. Так теория хаоса возродилась.

Новые создатели теории хаоса

Если Эдвард Лоренц предложил научному сообществу парадигму непрерывных хаотических динамических систем (систему Лоренца), то Роберт Мэй (род. 1936), занимавшийся популяционной биологией, в своей статье «Простые математические модели, обладающие сложной динамикой», опубликованной в журнале Nature в 1976 году, описал парадигму дискретных хаотических динамических систем (в них время течет не непрерывно, а скачками). Речь шла о логистическом отображении очень простой функции: f(х) = kx (1 — х). При значениях, близких к 4, эта функция, как это ни парадоксально, демонстрирует удивительно сложную динамику.

В следующей главе на примере этого отображения мы объясним основные понятия, связанные с хаосом.

Термин «хаос» был официально принят за год до публикации Мэя. В 1975 году профессор Иорк впервые использовал этот термин в современной научной литературе, в частности в своей статье «Период, равный трем, означает хаос», написанной в соавторстве с Ли Тянь-Янем. Несколько лет спустя, в 1978–1979 годах, физик Митчелл Фейгенбаум (род. 1944) эвристически (то есть с помощью нестрогих методов, приблизительных подсчетов) обнаружил определенные универсальные постоянные, характеризовавшие переход от периодического движения к хаотическому.

Не следует забывать, что в конце 1970-х — начале 1980-х годов исследования возможностей практического применения теории хаоса начали давать свои плоды не только в компьютерном моделировании. Классическим примером, демонстрирующим важность хаоса при изучении физических явлений, является переход к турбулентности в потоке. Турбулентность — очень важное явление, так как оно рассматривается во многих науках, начиная от гидродинамики и заканчивая метеорологией и климатологией. В классической математике турбулентность начинается с накопления колебаний. В стандартной интерпретации по мере того, как движение воды в реке становится все быстрее, сумма колебаний, по отдельности простых, порождает нестабильность, турбулентность. Проблема заключалась в том, что большинство колебаний при наложении совпадают, и в результате возникает периодическое движение, но не турбулентность. Наконец, в 1971 году математики Давид Рюэль (род. 1935) и Флорис Такенс (1940–2010) решили использовать иной теоретический подход и рассмотрели турбулентность с точки зрения топологии. Тогда и возникла блестящая идея: сочетание колебаний может породить новый объект — странный аттрактор, получивший такое название за форму: он представлял собой множество, отличное от известных на тот момент аттракторов (фокусов и предельных циклов).

Еще одна область применения теории хаоса, важность которой неуклонно повышается, связана с биологией при изучении неравномерности пульса и распространения заболеваний. Еще более многообещающими кажутся исследования в медицине и нейробиологии, в частности в электроэнцефалографии, где выявление хаотических и нехаотических участков (любопытно, что именно нехаотические участки являются аномальными) на энцефалограмме сегодня считается единственным способом раннего диагностирования заболеваний мозга.

* * *

ОПЕРЕЖАЯ ВРЕМЯ

Весьма вероятно, что первой динамической системой, с которой столкнется человек, только начавший изучение теории хаоса, будет логистическое отображение: f(x) = 4х( 1 — х). Несмотря на кажущуюся простоту, это отображение обладает очень сложной динамикой, которая включает хаотическое поведение. Логистическая функция является решением логистического уравнения, которое впервые описал бельгийский ученый Пьер Франсуа Ферхюльст (1804–1849). Когда в исследовании роста населения, опубликованном в 1838 году, Ферхюльст ввел логистическое уравнение для моделирования „ _ роста населения и последующей стабилизации его численности, подтверждаемого демографической статистикой, он не мог и представить, что более чем через 100 лет его модель привлечет огромное внимание исследователей и станет классическим примером теории хаоса.

Пьер Франсуа Ферхюльст.

* * *

СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ И ФРАКТАЛЫ

Большинство странных аттракторов в хаотических системах представляют собой фрактальные множества. Именно фрактальная геометрия, созданная Бенуа Мандельбротом (1924–2010) в 1977 году на основе передовых трудов Пьера Фату и Гастона Жюлиа, опубликованных в 1918 году, считается геометрией природы. Форму фракталов имеет множество природных объектов (морские побережья, листья растений, раковины моллюсков, легкие и другие органы человека, галактики, созвездия и даже кольца Сатурна, сегменты которых напоминают фрактальные множества Кантора), так как самоподобие — основное свойство сложных систем.