Том 32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление - [15]
Несколько позже, в 1950-е, специалист по топологии Стивен Смэйл продолжил качественный анализ динамических систем в поисках теоремы, аналогичной теореме Пуанкаре — Бендиксона, для трехмерного пространства, однако его работы не увенчались успехом. Подобная теорема не сформулирована до сих пор, так как траектории в пространстве могут переплетаться, что крайне усложняет динамику. Существуют трехмерные динамические системы, в которых, помимо центров, фокусов, узлов, седел и предельных циклов, наблюдаются странные аттракторы.
К несчастью для Смэйла, хаос существовал.
Странный аттрактор Рёсслера (1976). Подобно ленте Мёбиуса, он имеет только одну сторону, хотя кажется, что у него две стороны: достаточно проследовать вдоль внешней границы, чтобы увидеть, как она постепенно переходит во внутреннюю.
Изначально Смэйл считал, что почти все (или все) трехмерные динамические системы обладают не слишком странным поведением — почти таким же, как и двухмерные динамические системы на плоскости, все возможные аттракторы которых принадлежали конечному множеству фокусов и предельных циклов. Интерес Смэйла к аттракторам был вызван тем, что они описывали поведение динамической системы в долгосрочном периоде. Эти точки указывали, какими будут системы в далеком будущем, поскольку они испытывают фатальное притяжение к аттракторам, расположенным бесконечно далеко. Смэйл полагал, что единственными видами движения, корректными в долгосрочном периоде, были либо пребывание в состоянии покоя, либо равновесие в стационарном состоянии (в фокусе), либо периодическое повторение некой последовательности движений. Иными словами, система могла либо оставаться неподвижной, либо снова и снова совершать определенные движения. В долгосрочном периоде траекториями системы были точки либо окружности.
Каким же было удивление ученого, когда он, отдыхая на пляжах Рио-де-Жанейро, получил письмо с контрпримером к своей гипотезе. Норман Левинсон, коллега Смэйла из Массачусетского технологического института (MIT), описал динамическую систему, порождавшую нелинейный осциллятор Ван дер Поля, изученный Картрайт и Литлвудом. Эта система имела бесконечное множество периодических орбит и, что еще хуже, в долгосрочном периоде демонстрировала в высшей степени странное поведение: в теории была возможна ситуация, при которой система в будущем не будет оставаться неподвижной и не будет совершать определенные движения снова и снова, а продолжит двигаться совершенно беспорядочным образом. Рассмотрев аналитические работы Левинсона с геометрической точки зрения, Смэйл в 1959 году описал соленоид Смэйла (названный так за внешнее сходство с соленоидом — электромагнитом, состоящим из металлического сердечника, на который намотана проволока), а затем, уже в 1960-е — подкову Смэйла, обладающую крайне сложной динамикой, схожей с той, что демонстрирует система, описанная Левинсоном. Это были два в высшей степени странных аттрактора.
Соленоид Смэйла, представляющий собой тор, трижды обмотанный вокруг другого тора в четырехмерном пространстве.
Описание соленоида Смэйла, и в особенности подковы Смэйла, стало важным шагом на пути к пониманию связи между существованием гомоклинической орбиты и непериодическим и неустойчивым поведением, которое позднее стало называться детерминированным хаосом. С мэйл доказал, что существование гомоклинических точек подразумевает существование подковы — фигуры, служащей воплощением топологических операций растяжения и складывания, которые, как мы объясним в третьей главе, порождают хаос.
Возьмем на себя смелость рассмотреть хаос подробнее. До сих пор мы пытались приблизиться к хаосу с помощью интуитивно понятных примеров, однако понять, что же происходит на самом деле, совсем не просто. В научно-популярных книгах и даже в учебниках объяснения начинаются с числовых примеров, и только потом автор приводит примеры из геометрии и топологии.
Мы же решили действовать противоположным образом: во-первых, именно так исторически изучался хаос, во-вторых, так читатель сможет лучше понять, как и математики постепенно понимали, что такое хаос, — сначала с качественной, а затем с количественной точки зрения. У вас кружится голова от непонятных слов? Не беспокойтесь, математики прошлого чувствовали себя точно так же.
И соленоид, и подкова Смэйла — это примеры отображений, геометрических преобразований, в которых проявляется хаос. Преобразование, порождающее подкову Смэйла (обозначим его через f), очень простое. Чтобы выполнить его, рассмотрим квадрат или любую другую фигуру похожей формы. Сначала расположим квадрат на плоскости, растянем его, затем сложим пополам в форме подковы и уложим в границы, определенные краями исходной фигуры. Если мы будем повторять преобразование f снова и снова бесконечное число раз, то получим сложную и запутанную многослойную структуру, и возникнет хаос. На первой итерации исходный квадрат превратится в подкову в форме буквы U, как показано на следующем рисунке. На второй итерации подкова превратится в другую подкову, состоящую из трех кривых в форме буквы
