Том 3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - [20]

Мы уже знаем, что первые десять натуральных чисел содержат только четыре простых числа (2, 3, 5 и 7). От десяти до ста — двадцать одно простое число. Для выражения этого количества Гаусс ввел следующую функцию, которую он обозначил π(x):

π(x): = количество простых чисел, меньших, чем х.

* * *

УЧЕНЫЙ ДО МОЗГА КОСТЕЙ

Гаусс занимался не только математикой. Он получил важные результаты, исследуя магнитное поле Земли, притяжение эллипсоидов, а также сделал интересные открытия в теории электромагнетизма, капиллярности и диоптрики. В области геодезии Гаусс изобрел гелиостат (устройство для посылания сигналов с помощью отраженного света). Любопытный случай произошел в 1833 г., когда Гаусс работал с Вильгельмом Вебером (1804–1891), проводя исследования по электромагнетизму. Ученый создал электрическое устройство, способное передавать сообщения со скоростью света. Он изобрел не что иное, как электрический телеграф.

Памятник Гауссу и Веберу в Гёттингене.

* * *

Таким образом, π(10) = 4. А чтобы вычислить π(15), мы должны посчитать количество простых чисел, которые меньше 15, то есть

2, 3, 5, 7, 11, 13.

Так что π(15) = 6.

Символ π, который используется в этой формуле, более известен как число пи, но в данном контексте он не имеет этого математического смысла. Функция могла быть обозначена и любым другим символом, например, С(х). Действительно, молодой Гаусс сделал не самый лучший выбор. Вполне вероятно, что он просто использовал первый пришедший в голову символ. Большинству людей обозначение π(х) будет автоматически напоминать о связи с длиной окружности, но в данном контексте она не имеет ничего общего с простыми числами. В любом случае, мы будем продолжать использовать это обозначение.

Затем Гаусс построил таблицу с двумя столбцами. В левом он записал степени числа 10, а в правом — значения функции π(x).

В следующей таблице приведены результаты для первых десяти миллиардов.

Конечно, во времена Гаусса результаты были гораздо менее точны, и у него не было такого диапазона значений.

Ясно, что число π(x) будет увеличиваться, но как именно, мы не знаем. Добавим еще один столбец, показывающий долю простых чисел, меньших заданного числа.

Для этого вычислим отношение

π(x)/x

Мы знаем, что имеется 168 простых чисел, меньших 1000. Их доля составит

Это число говорит нам, что 16,8 % чисел между 1 и 1000 являются простыми. Оставшиеся 83,2 % представляют собой составные числа. Добавим этот третий столбик в таблицу:

Мы видим, что доля простых чисел уменьшается. Это важный, хотя и предсказуемый факт. Число является простым, если оно не делится ни на одно из чисел, предшествующих ему. Например, чтобы число 13 было простым, оно не должно делиться ни на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ни на 12. Чем больше число, тем больше количество возможных делителей, и, следовательно, тем реже будут встречаться простые числа. Но Гаусс, конечно, не думал, что отсюда следует, что простые числа в конце

концов, закончатся, так как он прекрасно знал о существовании основной теоремы арифметики, с помощью которой Евклид доказал, что множество простых чисел бесконечно.

У Гаусса третий столбец таблицы содержал не значения π(x)/x, а обратные им х/π(x).

Из этой таблицы видно, что, например, среди первых ста чисел одно из четырех — простое, а в первой тысяче — одно из шести, и так далее. Это, конечно, приблизительная оценка. Таблица не гарантирует, что среди первых ста чисел каждое четвертое число простое, что можно легко проверить с помощью решета Эратосфена. Таким образом, приведенная выше таблица лишь указывает приблизительное вероятное расстояние между простыми числами.

Гаусс заметил, что в третьем столбце значения растут каждый раз примерно на две единицы. Проявляется следующая закономерность: с каждой строкой диапазон чисел увеличивается в десять раз, а доля простых чисел — на две единицы. Эта связь между произведением и суммой характерна для логарифмов. У Гаусса таблицы логарифмов и список простых чисел были в одной и той же книге. Благодаря этому у него и возникла идея нового инструмента исследований. Логарифмы стали новым объективом на математическом телескопе. Как мы уже видели на примере логарифмов по основанию 10, каждый раз при умножении числа на 10 десятичный логарифм этого числа увеличивается на единицу, что означало, что это основание не совсем вписывалось в схему Гаусса, и поэтому он решил взять логарифм по основанию е, числу, аналогичному числу π. Его примерное значение равно:

е = 2,71882818284590452354…

Это бесконечное десятичное число появляется в математике примерно так же часто, как π. Логарифмы по основанию е называются «натуральными логарифмами».

По вышеприведенному определению, натуральные логарифмы следовало бы обозначать log_e, однако на калькуляторах имеются две отдельные клавиши: log — для десятичных логарифмов, а In — для логарифмов по основанию е.

Таким образом, Гаусс сформулировал следующую гипотезу: при больших х значения π(x)/x приближаются к 1/ln x, что можно записать как

π(x)/x примерно = 1/ln x (для больших значений х).

Этот результат является оценкой частоты, с которой простые числа встречаются в последовательности натуральных чисел. Предположим, что