Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии - [38]
Цель простейшего эксперимента с моделью «Маргариткового мира» — изучить, как изменяется доля поверхности планеты, где произрастают белые и черные маргаритки. Как правило, в модели используются следующие значения: А>y = 0,25, А>s = 0,50, А>х = 0,75, γ = 0,30. Планета, где в изобилии растут белые маргаритки, будет холоднее, чем планета, изобилующая черными цветами. После увеличения числа белых маргариток, вызванного нагреванием планеты, температура будет снижаться, и напротив, любое снижение температуры на планете будет компенсироваться ростом числа черных маргариток. Кроме того, для некоторых значений параметров возможны два равновесных состояния: планета будет либо совершенно безжизненной, либо полностью покрытой маргаритками.
На страницах этой книги мы совершили увлекательную экскурсию, во время которой показали, что причиной удивительного прогресса биологии и биомедицины во многом стало плодотворное сотрудничество математики и науки о жизни. Использование дифференциальных уравнений, теории хаоса, программ символьных вычислений, операций над векторами и матрицами (и линейной алгебры) позволяет биоматематикам описать красоту и сложность жизни с помощью математических выражений. Благодаря математике ученые могут создавать модели, делать прогнозы относительно самых разных проявлений жизни, будь то гены, белки, клетки, организмы, популяции или экосистемы. Мы надеемся, что после прочтения этой книги читатель захочет подробнее узнать о математической биологии, или биоматематике — науке с богатыми традициями и большими перспективами.
Приложение
По какой-то странной причине комплексные числа тесно связаны со многими физическими явлениями. Они присутствуют в электромагнетизме, используются в электронике, электротехнике, квантовой механике и при изучении волн. В математической биологии комплексные числа применяются при изучении биологических ритмов, занимают важное место в теории хаоса, без них невозможно представить фракталы на компьютере.
Графическое представление комплексных чисел очень просто. Если предположить, что комплексное число — это точка z, то в декартовой системе координат, которую далее мы будем называть комплексной плоскостью, на горизонтальной оси X будет откладываться его вещественная часть а, на вертикальной оси Y — мнимая часть Ь.
Если мы также обозначим через r расстояние от начала координат до точки z, нетрудно показать, что это расстояние (оно называется модулем комплексного числа и обозначается |z|) равно √(a>2 +Ь>2). Более того, если учесть, что вещественная часть а равна косинусу угла α между осью х и радиус-вектором точки z, умноженному на модуль комплексного числа, а мнимая часть Ь — синусу угла α, умноженному на модуль комплексного числа, то в так называемых полярных координатах число z будет записываться следующим образом:
z = r·(cos(α) + i·sin(α)).
Одно из самых любопытных свойств комплексных чисел заключается в том, что они расширяют возможности моделирования реальности, так как на них не распространяются ограничения, свойственные вещественным числам. Чтобы совершать с ними действия, можно представить, что, находясь на комплексной плоскости, ученый одной ногой стоит в вещественном мире (ему соответствует часть а), другой — в мнимом мире (ему соответствует часть b). При необходимости он беспрепятственно путешествует из одного мира в другой. Таким образом, к примеру, операции сложения и умножения комплексных чисел расширяют значение этих двух операций, что вы могли видеть при изучении фракталов Мандельброта и множеств Жюлиа.
С комплексными числами могут выполняться операции сложения и вычитания. На первый взгляд это кажется сложным, но в действительности это не так. Сумма двух комплексных чисел а + bi и с + di рассчитывается следующим образом:
(а + i) + (с + di) = (а + с) + (b + d)i.
К примеру, (2 + 5i) + (3 — i) = (2 + 3) + (5–1)i = 5 + 4i.
Вычитание — операция, обратная сложению, следовательно, разность комплексных чисел a + bi и с + di рассчитывается так:
(а + i) + (с + di) = (а — с) + (b — d)i.
К примеру, (1 + 3i) — (4 + 2i) = (1–4) + (3–2)i = —3 + i.
Также для комплексных чисел определены умножение и деление.
Произведение двух комплексных чисел а + bi и с + di определяется так:
(а + bi)·(с + di) = (ас — bd) + (ad + bc)i.
Обратите внимание, что результат умножения можно получить следующим, более понятным способом:
(а + bi)·(с + di) = а·с + а·d·i + b·с·i + b·d·i>2.
Напомним, что i>2 = —1. Имеем:
a·c + a·d·i + b·i·c — b·d.
Приведем подобные слагаемые:
(ас — bd) + (ad + bc)i.
К примеру, (2 + 6i)·(8 + 2i) = (2·8–6·2) + (2·2 + 6·8)
Алану Тьюрингу через 75 лет после сто смерти, в 2009 году, были принесены извинения от правительства Соединенного Королевства за то, как с ним обошлись при жизни. Ученого приговорили к принудительной химической терапии, повлекшей за собой необратимые физические изменения, из-за чего он покончил жизнь самоубийством в возрасте 41 года. Так прервался путь исследователя, признанного ключевой фигурой в развитии компьютеров, автора первой теоретической модели компьютера с центральным процессорным устройством, так называемой машины Тьюринга.
Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.
Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике.