Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика - [19]

Шрифт
Интервал



Обложка «Арифметики» Диофанта, изданной в 1621 году с комментариями французского математика Баше де Меризиака.

* * *

ДИОФАНТОВО УРАВНЕНИЕ

Задача, описанная на этой странице, приводится во второй книге «Арифметики» под номером 15. Диофант нашел ее решение следующим образом. Он обозначил через р и q квадраты двух последовательных чисел, так как ему было известно, что их произведение, увеличенное на их сумму, также является квадратом. В самом деле, если р = m>2, q = (m + 1)>2, то:

p·qp + q = m>2·(m + 1)>2 + m>2 + (m + 1)>2 = m>4 + 2·m>3 + 4·m>2 + 2·m + 1 = (m>2 m + 1)>2.

В частности, Диофант использовал р = 4 и q = 9. Таким образом, p·+ p + обязательно будет квадратом: 4·9 + 4 + 9 = 7>2. Две остальные величины будут таковы: 4·n + 4 + n = 5·+ 4 и 9·n + 9 + n = 10·n + 9. Таким образом, нужно найти число n такое, что и 10·n + 9, и 5·n + 4 будут квадратами. Далее Диофант ввел еще две вспомогательные переменные, r и k, определяемые уравнениями r>2  = 10·n + 9 и k>2 = 5·n + 4. Имеем

r>2k>2 = 10·n + 9–5·n — 4 = 5·n + 5,

что можно записать как (r + k)·(rk) = 5·(n + 1). Таким образом, = 5 и rk = n + 1. Выразив r и k из этих равенств, получим: r = (n/2) + 3 и k = 2 — (n/2). Подставив значение r в уравнение r>2 = 10·n + 9 и упростив полученное выражение, получим уравнение второй степени (n>2/4) = 7·n = 0. Его решением будет n = 28.

* * *

Приведем пример уравнений, которые рассматривает Диофант в своей «Арифметике»: «Найти три таких числа, что произведение любых двух из них, увеличенное на их сумму, будет квадратом». Если мы обозначим искомые числа через р, q и n, тo p·q + p + q, p·n + p = n и q·n + q + n должны быть квадратами. Диофант привел решение р = 4, q = 9 и n = 28. В самом деле, р·qq = 49 = 7>2, р·nр + n = 289 = 17>2, q·n + qn = 144 = 12>2 (см. врезку). Такие уравнения были известны древним грекам задолго до Диофанта. Первое из них, несомненно, выглядело так: найти натуральные числа m и n такие, что m>2 = 2·n>2. Как вы уже знаете, Пифагор доказал, что это уравнение не имеет решений: если бы они существовали, то √2 было бы рациональным числом.

Другое диофантово уравнение, также изученное до Диофанта, имело отношение к теореме Пифагора: требовалось найти все натуральные числа р, q, r, которые были бы решениями уравнения р>2 + q>2 = r>2. Согласно теореме Пифагора, точнее обратной ей теореме, такие числа р, q, r являются сторонами прямоугольного треугольника. Тройки чисел, удовлетворяющих этому уравнению, стали называться пифагоровыми тройками. В книге X «Начал» Евклида приведено общее решение этой задачи: для произвольных натуральных чисел m, n и k

p = k·(m>2n>2), = 2·k·m·n и rk·(m>2 + n>2)

образуют пифагорову тройку, и все пифагоровы тройки имеют подобный вид. Например, приняв m = 3, n = 1 и k = 4, имеем р = 32, q = 24 и r = 40, которые действительно удовлетворяют равенству р>2 + q>2 = r>2.

Среди уравнений, рассмотренных Диофантом в «Арифметике», было уравнение, описывающее пифагоровы тройки. Диофант также решил уравнение р>2 + q>2 = r>2, добавив к нему множество дополнительных условий. Например, он решил задачу о нахождении сторон прямоугольного треугольника, периметр которого является кубом, а сумма площади и гипотенузы — квадратом. Диофант нашел следующее решение этой задачи: длина гипотенузы r равнялась 629/50, длины катетов р и q — 2 и 621/50. Периметр треугольника равнялся 2 + 621/50 + 629/50 = 1350/50 = 27 = 3>3, сумма площади и гипотенузы — (621/50)·2/2 + 629/50 = 1250/50 = 25 = 5>2 (см. врезку на предыдущей странице).

* * *

ЕЩЕ ОДНО ДИ0ФАНТ0В0 УРАВНЕНИЕ

Последняя задача, описанная на этой странице, приведена в «Арифметике» Диофанта в книге VI под номером 17. Диофант нашел ее решение следующим образом. Он ввел новую переменную n — площадь треугольника. Тогда (р·q)/2 = n, то есть р·q = 2·n. Далее Диофант принял р = 2 и q = n. Сумма площади и длины гипотенузы треугольника равняется n + r, периметр треугольника — 2 + n + r. Так как число nr должно быть квадратом, нужно найти такой квадрат, который при увеличении на 2 был бы кубом. Тогда Диофант обозначил длину стороны квадрата через m + 1, длину стороны куба — через m — 1. Теперь нужно найти число m такое, что (m + 1)>2 + 2 = (-1)>3. Иными словами, m>2 + 2·m + 3 = m>3 — 3·m>2 + 3·m — 1, или, что аналогично, 4·m>2 + 4 = m>3 + m. Отсюда следует, что 4·(m>2 + 1) = m·(m>2 + 1), следовательно, m = 4. Таким образом, имеем + r = 5>2 = 25. Так как треугольник со сторонами р, и r должен быть прямоугольным, имеем: 4 + n>2r>2. Подставив в это уравнение n = 25 — r, получим 4 + (25 — r)>2 = r>2. Раскрыв скобки и упростив полученное выражение, имеем: 629 — 50·r = 0. Иными словами, r равно 629/50, следовательно, n и q равны 621/50.

Заметьте, что Диофант решил в целых числах кубическое уравнение х>2 + 2 = у>3 — его корнями являются х = 5, у = 3. Это уравнение имеет единственное решение в целых числах (именно его нашел Диофант) и бесконечно много дробных решений.

* * *

В 1621 году, спустя почти полтора тысячелетия после того, как Диофант написал свою «Арифметику», шесть сохранившихся книг этого труда были отпечатаны на языке оригинала и в переводе на латынь. Автором этого издания с комментариями стал француз Баше де Меризиак.


Еще от автора Антонио Х. Дуран Гуардено
Том 14. Истина в пределе. Анализ бесконечно малых

Бесконечно малая величина — это числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Исчисление бесконечно малых — общее понятие для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Анализ бесконечно малых — вне всяких сомнений, наиболее мощное и эффективное средство изучения природы, когда-либо созданное учеными. Становление этого понятия связано с именами блистательных математиков: Архимеда, Исаака Ньютона, Готфрида Вильгельма Лейбница, Огюстена Луи Коши и Карла Вейерштрасса.


Ньютон. Закон всемирного тяготения. Самая притягательная сила природы

Исаак Ньютон возглавил научную революцию, которая в XVII веке охватила западный мир. Ее высшей точкой стала публикация в 1687 году «Математических начал натуральной философии». В этом труде Ньютон показал нам мир, управляемый тремя законами, которые отвечают за движение, и повсеместно действующей силой притяжения. Чтобы составить полное представление об этом уникальном ученом, к перечисленным фундаментальным открытиям необходимо добавить изобретение дифференциального и интегрального исчислений, а также формулировку основных законов оптики.


Рекомендуем почитать
Флатландия. Сферландия

Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.


Стратегии решения математических задач

Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.


Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.


Симпсоны и их математические секреты

Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.


Истина и красота: Всемирная история симметрии

На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.


Простая одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике

Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике.