Том 14. Истина в пределе. Анализ бесконечно малых

Том 14. Истина в пределе. Анализ бесконечно малых

Бесконечно малая величина — это числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Исчисление бесконечно малых — общее понятие для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Анализ бесконечно малых — вне всяких сомнений, наиболее мощное и эффективное средство изучения природы, когда-либо созданное учеными. Становление этого понятия связано с именами блистательных математиков: Архимеда, Исаака Ньютона, Готфрида Вильгельма Лейбница, Огюстена Луи Коши и Карла Вейерштрасса. В этой книге идет речь об анализе бесконечно малых и его удивительной истории.

Жанры: Научпоп, Математика
Серия: Мир математики №14
Всего страниц: 49
ISBN: 978-5-9774-0708-3
Год издания: 2014
Формат: Полный

Том 14. Истина в пределе. Анализ бесконечно малых читать онлайн бесплатно

Шрифт
Интервал

Предисловие

Анализ бесконечно малых, вне всяких сомнений, наиболее мощное и эффективное средство изучения природы, когда-либо созданное математиками. Эта дисциплина зародилась в древности и развивалась очень долго. С III века до н. э., когда Архимед впервые использовал бесконечно малые величины для вычисления площади, до эпохи Ньютона и Лейбница, которые придали окончательный вид анализу бесконечно малых, прошло почти две тысячи лет. Но лишь спустя еще полтора столетия Коши и Вейерштрасс «приручили» бесконечно малые величины, найдя им адекватное логическое объяснение.

Если оставить мистические свойства бесконечности в стороне, то анализ бесконечно малых в том виде, в каком он существует сегодня, образован двумя внешне различными направлениями: дифференциальным исчислением, в основе которого лежит понятие производной, и интегральным исчислением. Их объединяет основная теорема анализа, согласно которой дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями.

Анализ бесконечно малых находит очень широкое применение ввиду того, что производные и интегралы используются во множестве областей математики, физики, техники, экономики и других наук.

К примеру, производная — это фундаментальное понятие физики, так как ему соответствуют такие понятия, как мгновенная скорость и мгновенное ускорение, а следовательно, и понятие силы. Неудивительно, что большинство физических законов выражены в виде дифференциальных уравнений, где производные используются наравне с обычными функциями. Приведем еще один из множества примеров, показывающих, насколько разными способами может применяться анализ бесконечно малых. Кому из нас, привыкших к современному медицинскому оборудованию, не делали магнитно-резонансную томографию (МРТ)? Когда волна проходит сквозь наше тело, ее поведение можно описать интегралом, значение которого равно разности интенсивности волны на входе и выходе из нашего организма. Аппарат «угадывает», что находится внутри нашего тела, на основании значений всех этих интегралов.

Современная физика родилась во времена Ньютона, который, помимо прочего, был создателем анализа бесконечно малых. Это совпадение не случайно: по словам самого Ньютона, идеи, которые окончательно оформились с открытием его метода исчисления, родились одновременно с первыми представлениями о гравитации. Первая, рудиментарная версия анализа бесконечно малых должна была помочь Ньютону на основе законов Кеплера о движении планет вывести закон гравитации, согласно которому сила притяжения тел обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Нечто подобное произошло, когда новая версия анализа бесконечно малых была создана усилиями Лейбница. Вскоре после того как в 1684 и 1686 году были опубликованы две его статьи, в которых излагались основы нового исчисления, оно было успешно применено для решения множества разнообразных задач механики, которые до этого не могли решить даже гениальные Леонардо да Винчи и Галилей. Речь идет о задаче о цепной линии, задаче о брахистохроне и некоторых других.

Об анализе бесконечно малых и его удивительной истории и пойдет речь в этой книге.


Глава 1.

Что такое анализ бесконечно малых и для чего он нужен

Анализ бесконечно малых — это область математики, которая имеет огромное значение для науки и техники. Чтобы понять, из чего состоит эта сложная и тонкая дисциплина, наверное, следует начать с рассказа о задачах, которые решаются с ее помощью. Так читатель сможет понять, насколько важен и широко распространен анализ бесконечно малых в современной науке и технике.

Эти задачи могут существенно различаться между собой. Так, к ним относятся физическая задача на определение скорости тела при известном пройденном расстоянии и обратная ей задача, в которой нужно рассчитать пройденный телом путь, зная его скорость. С помощью этого же анализа решаются задачи, в которых требуется, например, вычислить скорость автомобиля, зная силу тяги его двигателя, или определить положение гитарной струны после того, как за нее потянули.

Также существуют и геометрические задачи, в частности о расчете угла наклона касательной, длины кривой или площади криволинейной фигуры. Многие задачи, решаемые с помощью бесконечно малых, лежат на стыке физики и инженерного дела, например, задача об определении центра тяжести тела (что крайне важно при постройке кораблей), о вычислении положения кабеля, висящего между двумя столбами (эта задача решается при прокладке воздушных линий электропередачи), о расчете распределения температуры на различных участках нагреваемой металлической пластины, об определении движения жидкостей (эта задача играет большую роль в авиационной промышленности и других отраслях) и многие другие. Этот список можно продолжать практически бесконечно.

Именно бесконечно малые величины являются основным предметом изучения анализа бесконечно малых. Понятие бесконечности придает анализу бесконечно малых удивительную мощь, подчас граничащую с волшебством. Бесконечность — это основа математического анализа, но чтобы осознать, насколько велика ее роль, сначала следует уделить несколько абзацев основным понятиям исчисления.


Еще от автора Антонио Х. Дуран Гуардено
Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

Поэзия — недоказуемая истина. Математика же, напротив, состоит из доказательств. И все-таки у этих двух сфер есть что-то общее. Ученый Анри Пуанкаре писал: «Думать, что математика затрагивает лишь интеллект, означало бы забыть о красоте математики, элегантности геометрии, которые прекрасны в самом полном смысле этого слова». Математик находится посередине между наукой и искусством, и это подтверждает неизбежную связь между самой абстрактной из наук и человеческими эмоциями. Цель этой книги — на нескольких ярких примерах показать красоту математики.


Ньютон. Закон всемирного тяготения. Самая притягательная сила природы

Исаак Ньютон возглавил научную революцию, которая в XVII веке охватила западный мир. Ее высшей точкой стала публикация в 1687 году «Математических начал натуральной философии». В этом труде Ньютон показал нам мир, управляемый тремя законами, которые отвечают за движение, и повсеместно действующей силой притяжения. Чтобы составить полное представление об этом уникальном ученом, к перечисленным фундаментальным открытиям необходимо добавить изобретение дифференциального и интегрального исчислений, а также формулировку основных законов оптики.


Рекомендуем почитать
У адвоката

В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.


Россия, подъем! Бунт Расстриги

Каков главный талант президента Владимира Путина? Ждет ли Донбасс судьба Крыма? Кто сегодня главный враг России? Какая судьба ждет оппозицию? Как меняется сегодня мир и вернется ли СССР? Обо всем этом и о многих других остро актуальных темах в своей книге размышляет легенда отечественной журналистики Сергей Доренко.Российский журналист Сергей Доренко во все периоды своей яркой карьеры отличается категоричностью формулировок, умением остро ставить неудобные вопросы своим собеседникам во время интервью и держать удар в самых ожесточенных диспутах и словесных баталиях.


Брось вызов судьбе

Джейн Гринвуд немало настрадалась из-за того, что, обладая яркой внешностью, всегда была для мужчин лишь объектом чувственных желаний. Поэтому, влюбившись в Рэнди Мюррея, она намеренно скрывает от него свои чувства. Но жизнь приготовила для нее совсем уж неожиданные испытания. Джейн попадает в аварию и частично теряет память. Очнувшись в больнице и увидев Рэнди, она вдруг напрочь забывает о былой сдержанности и начинает пылко проявлять свою влюбленность. Мог ли Рэнди не воспользоваться таким подарком?!


Переписка 1826-1837

От редактора fb2 — сверка ссылок и текста по сайту feb-web.ru.


Жители планет

«Что такое на тех отдаленных светилах? Имеются ли достаточные основания предполагать, что и другие миры населены подобно нашему, и если жизнь есть на тех небесных землях, как на нашей подлунной, то похожа ли она на нашу жизнь? Одним словом, обитаемы ли другие миры, и, если обитаемы, жители их похожи ли на нас?».


Знание-сила, 2000 № 07 (877)

Ежемесячный научно-популярный и научно-художественный журнал.


Меч и Грааль

Взыскание Святого Грааля, — именно так, красиво и архаично, называют неповторимое явление средневековой духовной культуры Европы, породившее шедевры рыцарских романов и поэм о многовековых поисках чудесной лучезарной чаши, в которую, по преданию, ангелы собрали кровь, истекшую из ран Христа во время крестных мук на Голгофе. В некоторых преданиях Грааль — это ниспавший с неба волшебный камень… Рыцари Грааля ещё в старых текстах именуются храмовниками, тамплиерами. История этого католического ордена, основанного во времена Крестовых походов и уничтоженного в начале XIV века, овеяна легендами.


Родники здоровья

В книге кандидата биологических наук Г. Свиридонова рассказывается о рациональном и эффективном использовании природных богатств на благо человека, об их охране и воспроизводстве. Издание рассчитано на массового читателя.


Популярно о микробиологии

В занимательной и доступной форме автор вводит читателя в удивительный мир микробиологии. Вы узнаете об истории открытия микроорганизмов и их жизнедеятельности. О том, что известно современной науке о морфологии, методах обнаружения, культивирования и хранения микробов, об их роли в поддержании жизни на нашей планете. О перспективах разработок новых технологий, применение которых может сыграть важную роль в решении многих глобальных проблем, стоящих перед человечеством.Книга предназначена широкому кругу читателей, всем, кто интересуется вопросами современной микробиологии и биотехнологии.


Удивительная астрономия

Книга посвящена чрезвычайно увлекательному предмету, который, к сожалению, с недавних пор исключен из школьной программы, – астрономии. Читатель получит представление о природе Вселенной, о звездных и планетных системах, о ледяных карликах и огненных гигантах, о туманностях, звездной пыли и других удивительных объектах, узнает множество интереснейших фактов и, возможно, научится мыслить космическими масштабами. Книга адресована всем, кто любит ясной ночью разглядывать звездное небо.


Золотое сечение. Математический язык красоты

Можно ли выразить красоту с помощью формул и уравнений? Существует ли в мире единый стандарт прекрасного? Возможно ли измерить гармонию с помощью циркуля и линейки? Математика дает на все эти вопросы утвердительный ответ. Золотое сечение — ключ к пониманию секретов совершенства в природе и искусстве. Именно соблюдение «божественной пропорции» помогает художникам достигать эстетического идеала. Книга «Золотое сечение. Математический язык красоты» открывает серию «Мир математики» — уникальный проект, позволяющий читателю прикоснуться к тайнам этой удивительной науки.


Том 20. Творчество  в  математике. По каким правилам ведутся игры разума

В чем состоит загадка творчества? Существуют ли правила созидания? Действительно ли решение сложной задачи можно найти только в моменты удивительного озарения? Этими вопросами, наверное, задавался каждый из нас. Цель этой книги — рассказать о правилах творчества, его свойствах и доказать, что творчество доступно многим. Мы творим, когда мы размышляем, когда задаемся вопросами о жизни. Вот почему в основе математического творчества лежит умение задавать правильные вопросы и находить на них ответы.


Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе

Физика, астрономия, экономика и другие точные науки основаны на математике — это понятно всем. Но взаимосвязь математики и творчества не столь очевидна. А ведь она куда глубже и обширнее, чем думают многие из нас. Математика и творчество развивались параллельно друг другу на протяжении веков. (Например, открытие математической перспективы в эпоху Возрождения привело к перевороту в живописи.) Эта книга поможет читателю посмотреть на некоторые шедевры живописи и архитектуры «математическим взглядом» и попробовать понять замысел их создателей.


Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга

Число π, пожалуй, самое удивительное и парадоксальное в мире математики. Несмотря на то что ему посвящено множество книг, оно по праву считается самым изученным и сказать о нем что-то новое довольно сложно, оно по-прежнему притягивает пытливые умы исследователей. Для людей, далеких от математики, число π окружено множеством загадок. Знаете ли вы, для чего ученые считают десятичные знаки числа π? Зачем нам необходим перечень первого миллиарда знаков π? Правда ли, что науке известно все о числе π и его знаках? На эти и многие другие вопросы поможет найти ответ данная книга.