Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика - [14]
Построение окружностей Форда, касательных данной.
Аналогично простые расчеты показывают, что окружности Форда, касающиеся данной, полностью окружают ее. Если бы мы могли изобразить на иллюстрации бесконечное множество этих окружностей, то увидели бы, что они бесконечно приближаются к дроби p/q, пока не «кусают» ее (см. рисунок выше и врезку ниже), как если бы они обладали столь же огромным аппетитом, что и донья Роса из романа Селы.
* * *
ПРОЖОРЛИВЫЕ ОКРУЖНОСТИ ФОРДА
Представленные ниже простые расчеты должны убедить читателя, что окружности Форда, касающиеся данной окружности, соответствующей дроби p/q, неограниченно приближаются к точке, соответствующей этой дроби. Рассмотрим касающиеся окружности, расположенные слева от дроби p/q. Они соответствуют дробям (Р + n·p)/(Q + n·q), где n — любое натуральное число. Теперь достаточно показать, что разность между этими дробями и p/q неограниченно уменьшается с увеличением n:
Так как окружности, соответствующие дробям p/q и P/Q, касаются, то, как мы отмечали выше, числа р·Q и Р·q будут последовательными. Как следствие, их разность будет равна 1 или -1. С учетом этого предыдущее равенство примет вид:
Так как n расположено в знаменателе, то с его увеличением разность между p/q и (Р + n·p)/(Q + n·q) будет уменьшаться и в пределе, при бесконечно большом n, будет равна нулю.
* * *
Читатель согласится с тем, что окружности Форда настолько исполнены гармонии и элегантности, насколько отсутствие этих атрибутов характерно для доньи Росы; ее вздутого, как мех с оливковым маслом, живота, который Села называет «воплощением враждебности сытого к голодному».
Мартин Марко, или рациональное приближение иррациональных чисел
Оставим ненадолго донью Росу и окружности Форда и обратимся к биографии второго нашего героя — Мартина Марко, или рационального приближения иррациональных чисел.
Пифагор и пифагорейцы основывали математику и рациональное объяснение природы на том, что всю Вселенную можно свести к числам. Для пифагорейцев существовали только натуральные числа (1, 2, 3, 4, 5 и так далее) и дроби, которые можно было образовать из натуральных чисел. Тем не менее когда ученики Пифагора занялись простейшей геометрической операцией — измерением отрезков, основы их научной картины мира рухнули. Длина диагонали квадрата со стороной 1 оказалась в точности равна √2. Пифагорейцев постигло разочарование, когда они поняли, что √2 нельзя представить в виде дроби (об этом подробно рассказано на следующей странице). Что может быть проще, чем измерить диагональ квадрата? Однако даже ее нельзя точно выразить с помощью натуральных чисел и рациональных дробей. По легенде, Гиппас из Метапонта, пифагореец, раскрывший эту тайну кому-то из непосвященных, был сброшен в море с борта корабля и осужден вечно бороздить волны: «Раскрыв секрет невыразимого, он удостоился страшнейшего наказания — быть отделенным от сущего и низвергнутым в ничто, откуда прибыл».
Вскоре стало понятно, что, помимо чисел 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., которые мы используем при счете, и дробей, которые образуются из натуральных чисел, нужны и другие, более «сложные» числа. Чтобы установить различия между «нормальными» и «сложными» числами, математики стали использовать символические названия: числа 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. стали называться натуральными, а дроби, которые можно образовать из этих чисел, — рациональными.
Числа √2, > 3√5, π, напротив, называются иррациональными, словно предупреждая об их нездоровой природе.
* * *
ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ КОРНЯ ИЗ 2
В доказательстве подобных утверждений проявляется изумительная сила логических рассуждений математики. Так как существует бесконечное множество дробей и мы не можем проверить их все, то как мы можем быть уверены в том, что не существует дроби, которая при умножении на саму себя будет равна 2? Используем революционное изобретение древних греков — доказательство, то есть корректное логическое обоснование математического утверждения. Взяв за основу очевидный факт, посредством логических рассуждений, каждое из которых логически выводится из предыдущих, мы доказываем истинность другого, неочевидного, факта. Первое доказательство, о котором мы расскажем, приписывается самому Пифагору и звучит так. Заметим, что всякая дробь имеет эквивалентную ей несократимую дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей. Если существует несократимая дробь (обозначим ее через p/q), которая при умножении на саму себя равняется 2 (иными словами, p/q·p/q = 2), должно выполняться равенство р·р = 2·q·q. Покажем, что это невозможно. Если р·р = 2·q·q, то р·р — четное число; иными словами, оно в два раза больше некоторого другого числа. Так как квадрат нечетного числа — всегда нечетное число, р должно быть четным. Следовательно, число р в два раза больше некоторого другого числа, которое мы обозначим через k (иными словами, р = 2·k). Подставив это выражение в вышеуказанное равенство, получим 2·k·2·k = 2·q·q
