Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика - [45]

Карта «Изображение всего шара земного» (Typus totus orbis terrarum, 1597), также известная как «карта рыцаря Христова» Йодокуса Хондиуса, выполненная в проекции Меркатора. В средней части карты вы можете видеть рыцаря Христова, который сражается с Грехом, Сладострастием, Дьяволом и Смертью. Кроме того, Мир подносит ему чашу с ядом вавилонской блудницы, которая иногда использовалась как символ католической церкви.

* * *

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЕКЦИИ МЕРКАТОРА

Чтобы оценить, на каком расстоянии от экватора должны изображаться параллели в проекции Меркатора, будем постепенно увеличивать широту, на которой мы будем применять соответствующий коэффициент масштаба. Если мы начнем отсчет с параллели широтой φ и будем откладывать небольшие интервалы длиной t, получим последовательность точек широтой t, 2t…., φ — t, φ , через которые будут проходить параллели. Так как искажение в направлении меридиана для широты α, как мы уже отмечали, должно равняться искажению вдоль параллели, равномуsec φ, то искажение вдоль вертикали в отмеченных нами точках будет равно sect, sec (2t), sec (φ — t), sec φ. Так как длина дуги сферы, заключенной между отмеченными точками, равна t, то высота, на которой будет проходить параллель широтой φ, будет равна:

t·sect + t·sec(2t) +… + t·sec(φ — t) + t·secφ.

Допустим, мы хотим оценить высоту, на которой будет проходить параллель широтой φ = 60°. Предположим, что выбранные интервалы имеют величину t = 10°. Так как sec 10° = 1,0154, sec 20° = 1,0642, sec 30° = 1,1547, sec 40° = 1,3055, sec 50° = 1,5557 и sec 60° = 2,0000, умножив эти числа на 10 и сложив полученные значения, получим 80,955. Иными словами, параллель широтой 60° должна будет проходить на высоте, на которой располагалась бы параллель широтой 80,955°, если бы параллели были равноудалены друг от друга.

Именно так рассуждал Эдвард Райт, можно предположить, что похожие рассуждения провел и Меркатор. Рассмотрим задачу в более современном виде. Для цилиндрической проекции, 30° в которой экватор является осью х, а параллель широтой φ — горизонтальной линией, проходящей на высоте у = h(φ), коэффициент масштаба (искажения) в направлении меридианов λ должен быть равен коэффициенту масштаба вдоль параллелей μ = 1/cos φ = sec φ. Получим:

Имеем

* * *

Вернемся к проекции Меркатора и напомним, что карта, выполненная в этой проекции, имеет следующие свойства.

1. Она имеет прямоугольную форму, так как выполнена в цилиндрической проекции.

2. Меридианы и параллели пересекаются под прямыми углами.

3. Карта выполнена в конформной проекции, которая не сохраняет расстояния, площади, геодезические линии и формы протяженных участков.

4. Искажения площадей, форм и расстояний вблизи экватора очень малы (в этой части карты используется реальный масштаб), но они значительно возрастают по мере приближения к полюсам, поэтому проекция Меркатора удобна для составления карт территорий, расположенных вблизи экватора.

5. Локсодромы, или линии румба, изображаются в виде прямых линий.

Сравнение локсодромы (линии румба) и ортодромы (линии наименьшего расстояния) между Рио-де-Жанейро и Сеулом на карте Меркатора.

С созданием этой карты мечта Меркатора исполнилась. Если мореплаватель хотел попасть из точки А в точку В, он должен был всего лишь провести на карте, выполненной в проекции Меркатора, прямую, соединяющую эти точки, и измерить румб, соответствующий этой прямой, после чего ему оставалось всего лишь точно соблюдать курс. Однако вы уже знаете, что локсодромы — это не ортодромы, и хотя они указывают простейший курс (нужно всего лишь выдерживать постоянный румб), путь вдоль локсодромы не является кратчайшим. Двигаться вдоль ортодромы сложнее, так как для этого необходимо постоянно менять румб. Мореплаватели и пилоты самолетов в конечном итоге нашли промежуточное решение этой проблемы. Чтобы попасть из пункта отправления в пункт назначения, нужно выполнить следующее.

1. Провести геодезическую линию (прямую) на карте, выполненной в центральной или азимутальной равнопромежуточной проекции с центром в пункте назначения.

2. Разбить геодезическую линию на фрагменты и определить тем самым последовательность стратегических точек.

3. Перенести эти точки на карту, выполненную в проекции Меркатора, и соединить их прямыми. Построенные прямые будут локсодромами и укажут румб, который нужно выдерживать в каждой из стратегических точек.

Метод приближения большого круга с помощью локсодром, который используется в навигации по карте Меркатора, а также, например, карты, выполненной в гномонической проекции.

Нет никаких сомнений в том, что проекция Меркатора была и остается лучшей для составления навигационных карт с момента своего появления в XVII веке. Эту проекцию используют Национальная служба по исследованию океана США (с 1910 года), Гидрографический институт Испании и многие другие авторитетные организации.

Проекция Меркатора играла огромную роль в эпоху морских путешествий. Она очень часто использовалась при составлении карт мира и была одной из самых популярных картографических проекций вплоть до начала XX века, хотя она и вносит очень большие искажения в областях, близких к полюсам. Сегодня на основе этой проекции изготавливаются настенные карты, карты в учебниках и атласах, в научно-популярных публикациях, в газетах и журналах. Американский картограф