Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика - [31]

Стереографическая проекция имеет следующие свойства.

1. Так как она является азимутальной, карта в этой проекции имеет форму круга и охватывает всего одно полушарие. При изображении в этой проекции больших участков земной поверхности искажения слишком велики.

2. Искажение на меридианах и параллелях равно

Следовательно, эта проекция конформна, то есть сохраняет величины углов.

Однако она не сохраняет ни геодезические линии, ни площади, ни расстояния.

3. Так как эта проекция является азимутальной, она сохраняет геодезические линии, проходящие через точку касания сферы и плоскости. Иными словами, если центр проекции совпадает с одним из полюсов, меридианы изображаются прямыми, проходящими через центр карты.

4. Все меридианы и параллели (точнее все окружности сферы, в том числе большие круги) изображаются окружностями на плоскости, за исключением окружностей, проходящих через точку касания — они изображаются прямыми (это особенность отображений, называемых инверсиями, а стереографическая проекция является результатом инверсии).

5. Локсодромы (кривые на поверхности сферы, пересекающие меридианы под постоянным углом) изображаются в виде логарифмических спиралей.

6. Искажение площадей, форм и размеров вблизи точки касания невелико и возрастает по мере удаления от нее. При выходе за границы полушария, где расположена точка касания (то есть при пересечении экватора в полярных версиях проекции), искажения становятся слишком велики.

Локсодрома на земном шаре и на карте, выполненной в стереографической проекции, центр которой совпадает с Северным полюсом.

Далее мы аналогично центральной проекции рассчитаем искажения, возникающие при использовании стереографической проекции. Рассмотрим диск D достаточно малого (бесконечно малого) радиуса r, касающийся сферы в точке А широтой φ.

Примем радиус сферы равным 1, так как речь идет о сферической модели Земли. Посмотрим, как построенный нами диск изменится в стереографической проекции, и определим, какие искажения она вносит.

* * *

СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА

Все мы знаем, что сумма углов произвольного треугольника равна 180° (или π радиан) — половине полного оборота вокруг оси. Этот классический результат евклидовой геометрии упоминается уже в «Началах» (предложение 32 книги I), созданных греческим математиком Евклидом Александрийским (ок. 325 года до н. э. — ок. 265 года до н. э). Доказательство этого утверждения отличается простотой и изяществом. В данном треугольнике АВС через вершину С проводится линия, параллельная АВ, как показано на рисунке. Так как эта прямая параллельна АВ, обе они образуют равные углы с прямой АС (угол α). По этой же причине они образуют равные углы с прямой ВС (угол β). Так как прямые АС и ВС пересекаются, угол γ и противолежащий ему равны как вертикальные. Сумма трех углов при вершине С равна сумме углов треугольника α, β и γ, то есть развернутому углу — 180°.

* * *

Перед построением стереографической проекции диска на следующем рисунке обозначим через ψ угол ONA, равный углу OAN, и, поскольку сумма углов треугольника равна π, имеем:

С другой стороны, расстояние между N и А равно |NA| = 2 cosψ по тригонометрической теореме косинусов (для данного треугольника со сторонами а, b и с и углом α, противолежащим стороне а, выполняется равенство а² = Ь² + с² — 2Ьс·cosα). По определению косинуса имеем, что расстояние между N и А' — стереографической проекцией точки А — равно:

Чтобы лучше понять, как изменяется диск в стереографической проекции, проведем построение в два этапа. На первом этапе диск преобразуется в диск D', лежащий в плоскости, параллельной D. Центром диска будет точка А' — стереографическая проекция точки А (см. следующий рисунок). В силу подобия треугольников (по теореме Фалеса) имеем:

Первый этап построения стереографической проекции.

Второй этап заключается в построении проекции диска D' радиуса r' на плоскость проекции Т. В направлении «запад — восток» диск D' и плоскость Т пересекаются, следовательно, проекция отрезка будет иметь ту же длину, что и сам отрезок. Это означает, что искажение вдоль параллелей равно

так как мы вычислили искажение бесконечно малого отрезка длины r, расположенного вдоль параллели.

Рассмотрим, что произойдет с отрезками, расположенными в направлении «север — юг», и рассчитаем при этом искажение вдоль меридианов (см. следующий рисунок). Сначала заметим, что угол SA'N равен (π/2) — ψ. Если мы будем считать, что |NA'| очень велико по сравнению с r' (изначально мы приняли размеры диска D бесконечно малыми), то можно предположить, что проекционные лучи параллельны. Следовательно, проекцией отрезка А'В' будет отрезок А'С, а отрезок В'С параллелен NA'. Угол А'СВ', равно как и угол А'В'С, равен — (π/2) — ψ. Следовательно, треугольник В'А'С равнобедренный. Как следствие, |А'С| = |А'В'| = r'. Таким образом, искажение вдоль меридианов и параллелей будет одинаковым. Более того, оно будет одинаковым во всех направлениях, а значит, стереографической проекцией D будет диск радиуса:

Это указывает, что стереографическая проекция является изогональной, то есть сохраняет величины углов.