Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика - [30]
Иллюстрация из «Гармонии макрокосмоса» Андреаса Целлариуса 1708 года.
Глава 7
Стереографическая проекция
Стереографическая проекция — это графический метод, позволяющий представлять трехмерную геометрическую информацию в двух измерениях и решать задачи стереометрии. В геологии эта проекция используется, главным образом, для решения задач, связанных с ориентированием прямых и плоскостей, в том числе в кристаллографии и в структурной геологии. В подобных задачах большее значение имеют углы между линиями и плоскостями, а не их расположение в пространстве.
Р. Парк «Основы структурной геологии» (2004)
Стереографическая проекция — возможно, наиболее часто применяемая и самая известная азимутальная картографическая проекция. Ее авторство обычно приписывается Гиппарху Никейскому, хотя, возможно, она была известна еще древним египтянам. Проекция впервые упоминается в трактате Птолемея «Планисферий». Оригинал этого документа на древнегреческом языке утерян, до нас он дошел в арабском переводе, автором которого был математик Маслама. Впервые труд Птолемея был напечатан в виде приложения к его «Географии» в 1507 году. В работе была описана астролябия — инструмент для определения положения звезд на небесной сфере с использованием стереографической проекции. Птолемей называл эту проекцию планисферной, и это название сохранилось до XVI века (термин «планисфера» стали применять по отношению к картам звездного неба, так как для их изготовления использовалась именно эта проекция). В Средневековье стереографическая проекция также называлась проекцией астролябии. Название «стереографическая» ввел бельгийский математик Франсуа д’Агильон (1567–1617), который в своем труде «Шесть книг по оптике, полезные для философов и математиков» (Opticorum libri sex philosophis juxta ас mathematicis utiles) изучил свойства ортографической и стереографической проекций. Название «стереографическая» происходит от греческого «стерео» — «твердое тело» и «графиа» — «рисунок, изображение».
* * *
МАСЛАМА (ОК. 950-1007)
Абу аль-Касим Маслама ибн Ахмад аль-Фаради аль-Хасиб аль-Куртуби аль-Майрити родился в Мадриде в середине X века (аль-Майрити в его имени означает «родом из Мадрида»). В юном возрасте он переехал в Кордову, где познакомился с учеными, которые способствовали распространению достижений греческой науки в Андалусии. Со временем Маслама основал в Кордове собственную научную школу. Она стала настолько известной (Масламу называли андалусским Евклидом и королем андалусских математиков), что в нее стремились ученые со всей Андалусии и других регионов. Одно из достижений Масламы — перевод «Планисферия» Птолемея на арабский, который, как и оригинал, был утерян, однако успел лечь в основу последующих переводов книги на латынь и иврит, при этом сохранились комментарии самого Масламы к Птолемею. Кроме этого, Маслама занимался разработкой методов конструирования астролябии, которым он посвятил небольшую книгу; корректировкой таблиц Аль-Хорезми и Ал-Баттани для меридиана Кордовы (Маслама сделал их более удобными и точными); он написал учебник по арифметике в торговле и трактат по астрономии, а также определил долготу звезды Кальб Аль-Асад (сегодня она называется Регул).
* * *
Хотя полярная версия этой проекции была известна уже в Античности и использовалась при составлении карт звездного неба, в конце XVI и в XVII–XVIII веках проекция применялась для изображения Земли в виде двух отдельных полушарий.
Карта мира Vera totius expeditionis nauticae («Изображение всех морских экспедиций») (1595) Йодокуса Хондиуса (1563–1612) выполнена в стереографической проекции. На карте отмечены маршруты первых кругосветных путешествий, совершенных англичанами — сэром Фрэнсисом Дрейком в 1577–1580 годах и Томасом Кавендишем в 1586–1588 годах.
Стереографическая проекция строится следующим образом: рассмотрим сферу и плоскость, которая касается сферы в точке S (например, в Южном полюсе), и построим проекцию из диаметрально противоположной точки N (в нашем случае — Северного полюса). Отображением точки А на поверхности сферы, полученным с помощью стереографической проекции, будет точка А' на плоскости, определяемая как пересечение прямой, проходящей через точки А и N, с этой плоскостью, как показано на рисунке. Иными словами, если мы представим Землю как пластиковый шар, лежащий на столе так, что точкой касания шара и стола будет Южный полюс, то эта проекция будет тенью точки, освещаемой источником света, находящимся на Северном полюсе.
Слева — определение стереографической проекции. Справа — карта, выполненная в полярной стереографической проекции (центр проекции совпадает с Южным полюсом).
