Том 20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума - [31]

На следующее утро мы сели в автобус. Был солнечный день, нас ожидала долгая дорога, поэтому в начале пути я занимал себя тем, что наблюдал, как просыпалась жизнь на рисовых полях и в деревнях, мимо которых мы проезжали. Я чувствовал себя прекрасно, и мой разум переключался между реальностью и выдумкой.

Я попеременно видел сначала то, что в действительности находилось передо мной, затем — какие-то воображаемые картины. Внезапно у меня возник вопрос: как исправить ошибку измерений и получить точный результат?

Я вновь представил себе мастеров за работой, с бамбуковой рейкой в одной руке и с карандашом — в другой. Я отметил середину рейки на глаз, затем перенес отметку на край деревянной панели. Затем я сдвинул рейку до конца. Конец рейки и край панели не совпали — я ошибся, но… Эврика! Как же я раньше не додумался? Чтобы исправить ошибку, нужно было найти половину допущенной ошибки и прибавить (или вычесть) ее к исходной оценке в зависимости от того, в какую сторону я ошибся — в большую или в меньшую. Так я нашел решение: эта сумма или разность половин и была равна искомой половине стороны панели. Если же панели требовалось разделить на три части, следовало действовать так же: нужно было прибавить или отнять треть величины, на которую мы ошиблись. Если, повторив эти действия дважды, я не получал удовлетворительный результат, следовало повторить все с самого начала.

Мастер исправляет ошибку, допущенную при измерении на глаз.

Пусть L — длина отрезка, который мы хотим разделить на три части. Сначала определим треть отрезка на глаз. Отметим на отрезке три точки, обозначающие отрезки длиной a₁, 2a₁ и 3a₁ (см. рисунок на следующей странице).

Если последняя точка совпадает с концом отрезка, то наше решение верно. В противном случае требуется исправить допущенную ошибку Е. Как это сделать? Нужно найти ее треть, Е/3, и прибавить или отнять ее от первой оценки at в зависимости от того, в какую сторону мы ошиблись, большую или меньшую:

а₁ ± E/3.

Мы получим новую оценку, а₂, затем повторим эти же действия сначала.

Последовательные оценки образуют ряд, сходящийся к правильному результату, так как найти середину или треть очень маленького отрезка, длина которого равна величине ошибки, намного проще, чем найти длину исходного отрезка. У мастеров был острый взгляд, поэтому описанный выше алгоритм должен был привести к желаемому результату. Так и происходило.

Как рассуждают мастера?

Математический анализ задачи подтвердил мои ожидания: числовой ряд сходился к желаемому результату. Тогда я задал себе еще один, возможно, более сложный вопрос, который, однако, был крайне важен в моих исследованиях, посвященных математическим методам мастеров тораджи: думают ли они так же, как я? Я не мог просто подойти и задать им этот вопрос. Нужно было сделать так, чтобы они сами объяснили, как они рассуждают, решая эту задачу.

Некоторые из мастеров немного говорили по-индонезийски, но большинство общалось только на местном наречии тораджи. Раньше я пользовался услугами переводчика на английский, но иногда замечал, что он, вместо того чтобы переводить то, что говорил мастер, приводил собственную трактовку его слов. Сейчас я не мог допустить подобного. Я немного понимал по-индонезийски и решил еще немного подучить язык, чтобы поговорить с авторами гравюр. А то, что я уже был знаком с некоторыми из них, должно было помочь в общении. Так происходило межкультурное взаимодействие.

Деление отрезка на равные части неевклидовым методом

Мне стоило немалых трудов объяснить одному из мастеров суть моего вопроса, и в итоге он подтвердил, что при делении отрезка на равные части он рассуждал точно так, как я и представлял. На это указывали все выполняемые им действия, но я хотел, чтобы мастер изложил ход своих мыслей полностью, поэтому я решил действовать как ученик и попросил его объяснить, как он работает. Я решил приступить к работе сам, взял инструменты, с которыми работали мастера, и начал делить деревянную панель на равные части. Потом я спросил, что нужно делать, если я ошибся при делении отрезка на две части, и получил ответ: «Разделить излишек на две части». Затем я уточнил, что делать, если отрезок нужно разделить на три части, и получил ответ: «Точно так же — разделить излишек на три части».

Этот метод мастера называли «метод кира-кира», так как «кира-кира» в переводе с индонезийского означает «примерно». Отрезок делится на части примерно, но не произвольно: мастер отмечает последовательность точек и в конце концов получает желаемый результат. Он считается удовлетворительным, когда величина допущенной ошибки меньше ширины грифеля карандаша, которым наносятся отметки, или визуально неразличима. Это рекурсивный неевклидов алгоритм, который можно использовать на любой плоскости. Именно для таких задач решение методами евклидовой геометрии, которая преподается в европейских и индонезийских школах, оказывается неоптимальным. Мастера тораджи учились у мастеров прошлых поколений, и многие из них не ходили даже в начальную школу. Перед нами — новое решение одной из древнейших задач, новое по меньшей мере для европейской математики, результат этноматематического творчества.