Том 20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума - [29]
Задача формулируется следующим образом. Даны два круглых острова, на каждом из них есть всего одна дорога, идущая вдоль побережья. Один человек находится в точке Р на дороге, проложенной на одном острове, и ему нужно попасть в точку Q на дороге, расположенной на другом острове, как показано на рисунке. Как найти кратчайшую траекторию?
Все возможные траектории, проходящие по островам, будут иметь форму дуг окружности. С одного острова можно попасть на другой, двигаясь вдоль прямой линии. Вспомним рекомендации Пойа и сведем задачу к простейшему случаю, затем будем рассматривать все более сложные случаи и в итоге найдем общее решение.
1. Оба острова представляют собой точки.
2. Один из островов представляет собой точку.
3. Острова имеют одинаковый радиус.
4. Острова имеют разный радиус.
Основную роль при решении задачи играют четыре точки, положение которых определяется общими касательными к обеим окружностям, как показано на иллюстрации.
При решении задачи возникает вопрос: путь между какими точками будет кратчайшим, если мы будем передвигаться исключительно морем? А что если один остров расположен внутри другого и они разделены озером, имеющим форму кольца?
Моя третья встреча с математикой за пределами родной культуры произошла на пляже Падангбай на острове Бали. Там я встретил школьного учителя из небольшого городка, расположенного неподалеку, и его семилетнюю дочь. Учитель писал на песке примеры, а дочь должна была их решить. Меня удивил необычный способ умножения на пальцах, который они использовали. Я вспомнил одну из книг Джорджа Ифра, которая стояла в шкафу у меня дома, в 13 тысячах километров от того места, где я находился. В ней описывались различные способы умножения, используемые в разных частях света, но я не мог вспомнить, упоминалась ли в книге Индонезия и остров Бали.
Чтобы умножить, например, 6 на 8, девочка сжимала в кулак пальцы левой руки, а затем считала до 6 на пальцах, так, что в итоге один палец оказывался загнутым, 4 — разогнутыми. Затем она считала до 8 на пальцах правой руки так, что в итоге загнутыми оказывались 3 пальца, разогнутыми — 2, как показано на рисунке ниже.
Чтобы получить результат, девочка прибавляла число загнутых пальцев, умноженное на 10, то есть 10 * (1 + 3) = 40, к произведению чисел, которые обозначались разогнутыми пальцами, то есть 4·2 = 8. Результат умножения равнялся 40 + 8 = 48.
Кто придумал такой способ и как он работает? На первый вопрос ответить невозможно — способ очень древний. А ответ на второй вопрос выглядит так:
(10 — а) (10 — Ь) = 100 — 10а — 10Ь + аЬ =
= 100 —10(а + Ь) + аЬ = 10[10 — (а + Ь)] + ab.
Здесь а + b — число разогнутых пальцев, 10 — (а + Ь) — число загнутых пальцев. Число загнутых пальцев следует считать десятками, то есть умножить на 10. Наконец, а и b обозначают число загнутых пальцев на каждой руке. При умножении 6 x 7 мы получаем а = 4, b = 3. При умножении 8 x 8 загнутыми оказываются три пальца на каждой руке, они обозначают шесть десятков (60), два разогнутых пальца на каждой руке обозначают 2·2 = 4 единицы. Следовательно, результат умножения равен 60 + 4 = 64.
Смысл подобной системы в том, чтобы свести умножение двух чисел больше 5 к умножению чисел меньше 5. Чтобы использовать эту систему, не нужно знать таблицу умножения до 10 — достаточно таблицы умножения до 5.
Вернувшись домой, я открыл главу книги об истории чисел. Ифра писал, что схожие приемы умножения используются в разных частях света: «Подобные методы до сих пор встречаются в Индии, Иране, Сирии, Сербии, Бессарабии, Валахии, Оверни и на севере Африки». Индонезии среди упоминаемых им регионов не было. Так я впервые в жизни увидел что-то, что не было описано в книге. Жители Бали исповедуют индуизм, и нет никаких сомнений, что способ умножения, которым пользовались учитель и его дочь, был частью индийского культурного наследия.
* * *
УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ БОЛЬШЕ 10
Секрет описанного метода умножения основан на остатках от деления на 5. Такое умножение выполняется на пальцах. Так как у нас по 5 пальцев на каждой руке, число загнутых или разогнутых пальцев будет равно остатку отделения искомого числа на 5. Чтобы умножить 13 на 14, отсчитаем единицы на пальцах. В итоге на одной руке будут загнуты 3 пальца, на другой — 4, что соответствует остатку от деления 13 и 14 на 5:13 = 5·2 + 3; 14 = 5·2 + 4. Что нужно сделать дальше, чтобы найти результат умножения? Ответ на этот вопрос подскажет алгебра:
(10 + а)(10 + Ь) = 100 + (а + Ь)·10 + аЬ.
Иными словами, нужно прибавить к 100 столько десятков, сколько пальцев загнуто на обеих руках (3 + 4), и их произведение:
13·14 = 100 + (3 + 4)·10 + 3·4 = 100 + 70 + 12 = 182.
* * *
Произошедшее заставило меня по-новому посмотреть на окружающее. Вскоре мне попалось на глаза нечто особенное: гравюры народа тораджи с индонезийского острова Сулавеси. Вначале я увидел в них лишь произведение искусства и часть культуры тораджи, отличительной чертой которой является традиционная архитектура. Дома и амбары для хранения риса сделаны из дерева и стоят на толстых сваях.
