Том 20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума - [32]

Метод «кира-кира» представляет собой обычное деление, и он намного проще и понятнее, чем может показаться на первый взгляд. Так, можно убедиться, что его, по сути, без каких-либо изменений можно использовать и при делении чисел.

Ведь как мы делим одно число на другое? Мы начинаем с того, что оцениваем, сколько раз делитель укладывается в делимом. Если числа не делятся друг на друга нацело, образуется остаток. Например, когда мы делим 13 на 5, то говорим, что 5 укладывается в 13 два раза, а остаток от деления равен 13 — 2·5 = 13–10 = 3. Что делать дальше? Нужно разделить остаток 3 на тот же делитель, то есть на 5.

Чтобы упростить вычисления, мы умножаем 3 на 10 и делим 30 на 5. Эти числа делятся друг на друга нацело, результатом деления является 6. Однако этот результат затем нужно разделить на 10 и прибавить полученное число, 0,6, к уже известному частному: 2 + 0,6 = 2,6. Так мы получили окончательный результат деления.

Именно так действуют мастера тораджи — разница заключается лишь в том, что они не выполняют расчеты явно и начинают с визуальной оценки. При делении чисел мы можем действовать точно так же. Допустим, нам нужно разделить 2345 на 3. Будем действовать так:

Ошибка, допущенная на третьем шаге (2345/3 = 780), уже достаточно мала и имеет порядок 0,2 % по сравнению с точным результатом, равным 781,666… Но, хотя этот метод эффективен при делении отрезков на практике, он не вполне применим при делении чисел.

Новая проблема

Некоторое время спустя я вновь общался с одним из мастеров. Я с удивлением увидел в его мастерской необычную геометрическую фигуру — пентаграмму. Спросив мастера, как он построил такую фигуру, я узнал, что построить шестиконечную звезду несложно, пятиконечную — намного труднее.

Мастер указывает на неточно проведенную касательную при построении пентаграммы.

Это и в самом деле так. Мастера вписывали пятиконечную звезду в кольцо, радиус которого определялся визуально. Если результат построения отличался от ожидаемого, мастер исправлял ошибку, но не по методу «кира-кира», а на глаз, не следуя какому-то четко определенному методу, который обязательно приводил бы к нужному решению.

Я задумался над тем, как можно помочь мастерам в решении этой задачи. Было очевидно, что она заключалась в построении пяти равноудаленных точек на окружности, которые затем соединялись попарно, образуя пентаграмму. Следовательно, задача сводилась к построению правильного пятиугольника. Решение, предложенное Евклидом, не подходило по двум причинам. Во-первых, мне казалось бессмысленным чертить пятиугольник на стене дома тораджи с помощью громоздкого метода Евклида, который я и сам не помнил во всех подробностях. Во-вторых, не совсем этично привносить подобный метод в другую культуру. И тут… Эврика! Почему бы не попытаться решить задачу с помощью методов, свойственных культуре, в которой возникла эта задача? Иными словами, можно ли применить метод «кира-кира» для построения правильных многоугольников? Ответ на этот вопрос оказался утвердительным, хотя и не совсем таким, как предположил бы европейский математик.

Нам дана окружность, в которую мы хотим вписать правильный пятиугольник.

Применим метод «кира-кира», отложив на бамбуковой рейке пятую часть длины окружности. Затем отложим на окружности полученной меркой пять отрезков: P₀P₁, Р₁Р₂…., P₄P₅. Если конец последнего отрезка совпадает с точкой P₀, то есть первая и последняя точки совпадают, замыкая цикл, то отмеченные нами пять точек являются вершинами правильного пятиугольника. Хорды, стягивающие пять дуг окружности, соответствующих этим пяти точкам, являются сторонами искомого пятиугольника. Чтобы построить пентаграмму, достаточно соединить точки нужным образом.

Если цикл не замыкается, то есть если Р₅ не совпадает с P₀, это означает, что мы допустили ошибку. Сначала я считал, что эту ошибку следует исправить, найдя ее треть с помощью бамбуковой рейки, а затем прибавить ее к исходной длине отрезка (или вычесть из нее). Но это не помогло улучшить результат. Как же решить задачу? Эврика! Я работал с точками на окружности, но по-прежнему использовал отрезки, в то время как мне нужно было исправить ошибку, допущенную при откладывании дуги. Мне нужно было обратить внимание не на рейку, которой я откладывал хорды, а на дугу окружности, соответствующую величине допущенной ошибки.

Спрямленная окружность

Все ясно: требуется рассмотреть окружность как отрезок. Закрепив один конец рейки во второй точке, отмеченной на окружности, я переместил другой конец рейки туда, где, по моему мнению, должен был находиться конец третьей части дуги, соответствующей допущенной ошибке. В результате я получал новую длину хорды.

Ключ к решению заключался в том, что все отметки на бамбуковой рейке соответствовали хордам дуг окружности и… эврика! Результирующая дуга должна представлять собой сумму дуг. Если складывать хорды подобно отрезкам, это условие не выполняется — результирующая дуга не будет равна сумме двух других. Иными словами, сумма хорд будет равна результирующей хорде, только если мы определим сумму хорд как хорду, равную стороне треугольника, построенного на двух исходных хордах: