Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике - [33]

Живительная математическая теорема, называемая «центральной предельной теоремой», гласит, что на очень больших генеральных совокупностях (при анализе множества деталей, изготовленных на станке, множества избирателей в стране, роста, веса, психологических характеристик людей, поведения групп людей и т. д.) рассматриваемые значения стремятся к нормальному распределению, следовательно, средние значения на выборках, взятых из этой совокупности, также подчиняются нормальному закону и совпадают со средними по всей совокупности. Среднеквадратическое отклонение на выборках также подчиняется нормальному закону и равняется среднеквадратическому отклонению генеральной совокупности.

Центральная предельная теорема является основным связующим звеном между значениями на выборке (несколько объектов) и значениями на большой генеральной совокупности (множество объектов) и показывает, насколько большое значение имеет нормальное распределение вероятности в статистических исследованиях.

По данным периодически проводимых опросов активного населения можно определить параметры всего населения страны с определенной погрешностью, которая описывается доверительным интервалом, о чем мы уже говорили выше.

Вероятность P(z) возникновения события z вычисляется как площадь, ограниченная графиком функции распределения и осью ОХ. Поэтому нет смысла говорить о Р(0,45), так как, во-первых, в связи с погрешностями измерения, неизбежными для любого инструмента, можно говорить лишь об определенном интервале, во-вторых, потому что площадь полученной области будет равна 0.

* * *

СТАНДАРТИЗОВАННОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Стандартизованное нормальное распределение — это упрощенное нормальное распределение изучаемого параметра или переменной. Все значения х_i изучаемой переменной меняются: из них вычитается среднее значение i, после чего результат делится на среднеквадратическое отклонение σ. Стандартизованная переменная обозначается буквой z.

Таким образом, центральным значением множества х_i становится не μ, а 0. При делении на σ распределение становится стандартизованным, среднеквадратическое отклонение принимает значение σ = 1. Таким образом, одно и то же распределение (один и тот же график, одну и ту же функцию и одну и ту же таблицу значений) можно использовать для любого нормального распределения после замены переменной, а благодаря этой замене при анализе любого нормального распределения можно использовать одну и ту же таблицу значений.

При переходе к новой переменной (от х к z) все распределения статистических переменных, подчиняющихся нормальному закону, определяются одной и той же функцией распределения (так

 при среднем значении, равном 0, и среднеквадратическом отклонении, равном 1.

* * *

При изучении непрерывных статистических переменных имеет смысл говорить только о вероятности попадания значения z на определенный интервал 

.

Тогда площадь, ограниченная графиком, есть интеграл от функции плотности:

Также можно говорить о вероятности того, что величина z будет не больше определенного значения, то есть будет принадлежать открытому интервалу [

]. Эта вероятность рассчитывается так:

В обоих случаях интеграл позволяет найти необходимую площадь.

Графически вероятность того, что значение z будет меньше или равно а, изображается областью, выделенной серым цветом на следующем графике, и вычисляется с помощью интеграла:

Значение этого интеграла можно вычислить только с помощью методов аппроксимации. С их применением были составлены таблицы распределения вероятностей для стандартизованного нормального закона распределения, позволяющие выполнить любое статистическое исследование, в котором фигурирует нормальное распределение. Эти таблицы можно найти в любой книге по основам статистики, и они позволяют вычислить следующие вероятности:

PNT (z <= 1) = 0,8413; PNT (z <= 2) = 0,9972; PNT (z <= 3) =0,9987.

Глава 6. Математика на бирже

Существует два экономических мира: сфера производства товаров и услуг, измеряющихся с помощью денег — этот сектор можно назвать реальным сектором экономики, и совершенно иная сфера, в которой обращаются только деньги — этот сектор называется финансовым сектором экономики. К последнему относятся финансовые рынки, которые различаются в зависимости от торгуемых на них ценных бумаг: валютные рынки, денежные (межбанковские) рынки, рынки производных финансовых инструментов и т. д. Сюда же относятся биржи ценных бумаг (или рынки капитала), где продаются и покупаются финансовые активы, то есть акции, облигации и т. д.

Биржи и рынки ценных бумаг

Биржи образуют организованный рынок с утвержденными правилами, и стать его участниками могут не все компании. Традиционно сделки совершались так: собравшись вместе в оговоренный час, участники рынка (биржевые агенты) совершали операции со всеми видами ценных бумаг. Там же брокеры заключали договоры с покупателями и продавцами ценных бумаг, те передавали брокерам указания относительно покупки и продажи, и все сделки заключались на словах.

В зависимости от полученных указаний сделки заключались на аукционах: брокер выкрикивал число продаваемых акций и начальную цену, а другой брокер, получивший от клиента указание покупать, выкрикивал количество акций и цену, которую он был готов заплатить. Если цены покупки и продажи совпадали, заключалась сделка (вновь на словах), и таким образом формировался курс (стоимость) акций. Финальные котировки обычно отличались от исходной стоимости акций: если на продажу было выставлено больше ценных бумаг, чем покупатели были готовы приобрести, курс акций снижался, и напротив, если покупатели были готовы купить больше акций, чем предлагали продавцы, котировки росли.