Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике - [32]

На этой английской карикатуре 1819 года изображается аукцион, на котором Георг IV продал вещи недавно умершей матери.

Изучение рынка

Проведем исследование рынка на следующем примере: по оценкам, чистящее средство некой марки используют 26 % семей. Была сформирована выборка из 12 семей, которым задали вопрос, какую марку чистящего средства они используют. Нужно определить, какова вероятность того, что в этой выборке от 6 до 9 семей используют чистящее средство рассматриваемой марки. Анализируемая переменная может принимать одно из двух возможных значений («да, используется» и «нет, не используется»), вероятности которых соответственно равны 26 % и 74 % (74 = 100—26).

С помощью законов комбинаторики можно показать, что вероятность РВ(k) того, что в выборке из n семей k будут использовать рассматриваемое чистящее средство, равна где р = 0,26 и (1 — р) = 1–0,26 = 0,74. Эта формула соответствует так называемому биномиальному закону распределения вероятностей, выведенному Якобом Бернулли в XVII веке. В свою очередь, указывает число различных сочетаний из k элементов в группе из n объектов.

где р = 0,26 и (1 — р) = 1–0,26 = 0,74. Эта формула соответствует так называемому биномиальному закону распределения вероятностей, выведенному Якобом Бернулли в XVII веке. В свою очередь,

указывает число различных сочетаний из k элементов в группе из n объектов.

* * *

РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ГРУППИРОВКИ ОБЪЕКТОВ

Сочетаниями из n объектов по k (где k < n) называются все группы из k объектов; две группы считаются различными, если они отличаются по меньшей мере одним объектом, при этом порядок объектов в группах не имеет значения. Так, число сочетаний (групп) из четырех объектов по 3 обозначается С³₄ и вычисляется по следующей формуле:

Всего можно составить четыре различные группы. Так, если в качестве четырех исходных элементов мы рассмотрим буквы А, В, С, D, то искомыми четырьмя сочетаниями будут AВС, ABD, ACD, BCD. Существуют другие типы группировки объектов, которые широко используются в дискретной математике, к ним относятся размещения и перестановки.

Размещение из n объектов по m Aⁿ_m определяется так: две группы считаются различными, если они отличаются хотя бы одним элементом или же их элементы расположены в разном порядке. Все возможные размещения из четырех элементов (р, q, r, s) по 3 таковы:

pqr, pqs, prq, psq, prs, psr,

qrp, qpr, qps, qsp, qrs, qsr,

rps, rsp, rpq, rqp, rsq, rqs,

spq, sqp, sqr, srq, spr, srp.

Число размещений вычисляется по формуле Aⁿ_m = m∙(m — 1)∙(m — 2)…(m — n + 1). В нашем случае число размещений равно

V³₄ = 4(4—1) … (4 — 3 + 1) = 4∙3∙2 = 24.

Перестановки — это размещения, содержащие все исходные элементы, то есть размещения при m = n. Перестановками из трех элементов (М, N, Р) являются размещения из 3 по 3. Все возможные перестановки таковы: MNP, MPN, NMP, NPM, PMN, PNM. Число перестановок вычисляется по формуле

Р_n= n(n — 1)(n — 2)…(n — n + 1) = n(n — 1)(n — 2)…3∙2∙1 = n!

В нашем случае Р₃ = 3(3 — 1)(3 — 2) = 3! = 6.

* * *

Вероятность того, что произойдет одно или несколько возможных событий, равняется сумме вероятностей отдельных событий, если они являются независимыми (то есть не могут произойти одновременно).

В нашем примере вероятность того, что шесть опрошенных используют определенное чистящее средство, равна

Использовав эту формулу, рассчитаем с помощью Excel таблицу значений от РВ(1)до РВ(12).

Распределение вероятностей передается графически двумя способами: справа оно представлено на гистограмме, слева — с помощью графика непрерывной функции

Искомая вероятность того, что рассматриваемую марку средства используют от 6 до 9 опрошенных, равна

РВ (6 < х < 9) = РВ (6) + РВ (7) + РВ (8) + РВ (9) =

= 0,0468708102 + 0,0141155039+ 0,0030996943 + 0,0004840363 = 0,0645700627 = 6,46 %

Средняя величина и среднеквадратическое отклонение для биномиального распределения рассчитываются по формулам:

среднее = μ = n∙p; среднеквадратическое отклонение = σ =

В нашем случае

среднее μ = р = 12∙0,24 = 2,88; среднеквадратическое отклонение = σ =

 = 1,479.

Биномиальное распределение — это распределение вероятностей, график которого при больших объемах выборки стремится к графику нормального распределения.

Кривая биномиального распределения слегка асимметрична по сравнению с кривой нормального распределения, которая полностью симметрична.

Слева — графики, описывающие три нормальных распределения с одинаковой средней μ и среднеквадратическим отклонением σ = 1; σ = 2; σ = 3. Справа — графики, описывающие три нормальных распределения с одинаковым среднеквадратическим отклонением σ = 1 передними μ₁, μ₂, μ₃, μ₄.

Статистики и экономисты должны уметь работать с широким спектром распределений вероятности. Каждой конкретной ситуации, в которой встречаются случайные величины (переменные, значения которых невозможно спрогнозировать), соответствует определенное распределение вероятностей (функция распределения).

Некоторые распределения вероятностей описывают экономические и социальные явления. Ситуации, когда изучаемая переменная является дискретной (принимает только целые значения или значения «да»/«нет»), адекватно описываются биномиальным распределением. При непрерывных переменных во многих случаях применяется нормальное распределение, или кривая Гаусса.