Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике - [17]
Продавец говорит, что цена автомобиля — 10000 евро, которые нужно выплатить за пять лет, таким образом, общая сумма к уплате, включая проценты, составит 15000 евро. Покупатель хочет узнать, какова процентная ставка по этому кредиту.
Зная число лет n = 5, начальный капитал С>0 = 10000 евро и конечный капитал С>n = 15000 евро, процентную ставку i можно вычислить по формуле
Подставив в эту формулу исходные значения, получим процентную ставку
* * *
Процентные ставки по кредитам
Как правило, потребители или предприниматели, которые не располагают достаточными средствами для приобретения товаров длительного пользования, промышленного или торгового оборудования, обращаются в банк за кредитом. При покупке недвижимости кредит выдается под залог приобретенного имущества, такой кредит называется ипотечным. Это означает, что если заемщик не сможет выполнить обязательства по кредиту, приобретенная им недвижимость перейдет в собственность банка.
Погашение обычных и ипотечных кредитов осуществляется периодическими платежами (раз в месяц, квартал, полугодие, год и т. д.), в этих платежах часть суммы идет на уплату процентов, а остаток — на погашение основного долга.
Большинство потребительских и ипотечных кредитов выплачиваются фиксированными платежами, то есть их размер остается неизменным. Платежи могут осуществляться в начале или в конце периода (как правило — в конце периода), при этом выплачиваемая сумма процентов и основного долга будет отличаться.
Однако существуют и другие способы погашения кредитов: в некоторые периоды могут выплачиваться только проценты, сумма платежа может изменяться, при этом в каждом периоде будет выплачиваться фиксированная сумма в счет основного долга плюс проценты по кредиту. Такие платежи называются дифференцированными. Их величина меняется: они включают фиксированную сумму в счет уплаты основного долга и переменную сумму процентов, начисленных на остаток долга по кредиту.
Чаще используются так называемые аннуитетные платежи. Размер аннуитетных платежей (как правило, выплачиваемых в конце расчетного периода) фиксирован. Часть аннуитетного платежа идет в уплату процентов, часть — в уплату основного долга по кредиту. В первые годы большую часть аннуитетных платежей составляют проценты и лишь малая часть идет в уплату долга по кредиту. С течением времени доля выплачиваемых процентов в каждом платеже уменьшается, а доля, идущая в уплату основного долга, возрастает. Чтобы рассчитать размер аннуитетного платежа по кредиту в размере С>0 с процентной ставкой i, выданному на n расчетных периодов (лет), нужно использовать формулу суммы геометрической прогрессии.
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число начиная со второго получается из предыдущего умножением его на определенное число r, которое называется знаменателем прогрессии. Так, последовательность чисел а>1, а>2, а>3, а>4…, а>n-1, а>n (индекс обозначает порядковый номер: первый член последовательности обозначается цифрой 1, последний — n) является геометрической прогрессией тогда, когда для данного знаменателя r выполняется соотношение: а>2= а>1∙r, а>3 = а>2∙r, …, а>n = а>n-1∙r, так, что r = а>n/а>n-1. Выразив члены геометрической прогрессии через ау получим:
a>1 = a>1
a>2 = a>1∙r
a>3 = a>1∙r>2
……
a>n = a>1∙r>n-1
Сумма этой геометрической прогрессии S>n равна:
S = а>1 + а>2 + а>3 + … + а>n-1 + а>n (1)
Если умножить обе части равенства (1) на знаменатель r, получим:
r∙S>n = r∙(а>1 + а>2 + а>3 + … + а>n-1 + а>n) = r∙а>1 + r∙а>2+ r∙а>3 + … + r∙а>n-1+ r∙а>n
r∙S>n = а>2 + а>3 + … + а>n + r∙а>n (2)
(если мы умножим данный член прогрессии а>i на знаменатель r, получим следующий член, а>i+1, так как а>i+1 = r∙а>i).
Вычтя из равенства (2) равенство (1), то есть r∙S>n — S>n, получим:
r∙S>n — S>n = — а>1 + r∙а>n; S>n∙(r — 1) = r∙a>n — a>1,
откуда
(3)
Это формула суммы геометрической прогрессии. Учитывая, что а>n = a>1∙r>n-1 и подставив это равенство в (3), имеем:
Вот еще одна форма записи суммы геометрической прогрессии:
(4)
Для кредита с аннуитетным платежом а сроком n лет и процентной ставкой i будущая стоимость капитала С>n, выплаченная в виде суммы платежей а за n расчетных периодов, будет равна:
С>n = a∙(1 + i)>0 + a∙(1 + i)>1+… + a∙(1 + i)> n-2+ a∙(1 + i)> n-1= a + a∙(1 + i)>1 + … + a∙(1 + i)>n-2+ a∙(1 + i)>n-1
Результат является суммой геометрической прогрессии, первый член которой равен а, знаменатель — (1 + i).
Применив формулу (4) суммы геометрической прогрессии, получим
(5)
Учитывая, что С>n= C>0∙(1 + i)>n, и подставив это значение в (3), имеем:
Перенеся переменную а, обозначающую сумму аннуитетного платежа, в левую часть, получим формулу для расчета суммы аннуитетного платежа по кредиту:
(6)
где С>0 — сумма кредита.
* * *
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Геометрическая прогрессия — одна из простейших последовательностей, то есть это упорядоченное множество чисел, значение определенного члена которого можно вычислить с помощью математической формулы с переменной, указывающей место этого члена в последовательности.
Указанная формула задает общий член последовательности. Как правило, это функция
