Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике - [16]
В договоре может указываться годовая процентная ставка, а проценты при этом выплачиваются, например, раз в год, квартал или месяц. В этом случае на счет клиента будет поступать полная сумма процентов за год либо разделенная на 4 или на 12 в зависимости от периодичности начисления процентов. В договоре может использоваться месячная или квартальная процентная ставка. В этом случае для расчетов процентов применяется формула, приведенная выше, однако период времени n выражается в месяцах или кварталах соответственно.
Иногда клиент хочет прибавить полученные проценты к вкладу, чтобы на них также начислялись проценты. В этом случае речь идет о так называемых сложных процентах. Рассмотрим предыдущий пример снова, несколько его изменив. В конце первого года клиент помещает на счет вклада итоговую сумму в 1060 денежных единиц. В конце второго года его капитал будет равен 1123,60, так как, помимо 120 денежных единиц, выплаченных в качестве процентов, также будут выплачены 6 % от 60 единиц, вложенных по итогам первого года, то есть дополнительно 3,6 денежной единицы. В конце третьего года итоговый капитал составит 1191,02, то есть рентабельность вложений за весь срок вклада составит 19,10 % — на 1,1 пункта больше, чем если бы использовались простые проценты.
Процентная ставка по кредиту, или доходность капитала, может быть месячной, квартальной или годовой. Следовательно, если номинальная годовая процентная ставка составляет 12 %, но на сумму кредита ежемесячно начисляется 1 %, и эта сумма добавляется к телу кредита, то итоговая сумма будет отличаться. Поэтому определяется эквивалентная годовая процентная ставка. Эквивалентная годовая процентная ставка по кредиту с годовой процентной ставкой i, проценты по которому начисляются n раз в год (например, ежемесячно), рассчитывается так:
* * *
ОБЩАЯ ФОРМУЛА СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
Общая формула для расчета сложных процентов за n лет, начисляемых по вкладу или по кредиту с начальной суммой С>0, выводится так: в первый год (n = 1) начисляется сумма процентов, равная С>0∙i. Во второй год (n = 2) эта сумма процентов прибавляется к начальному капиталу: С>1 = С>0 + С>0∙i = С>0∙(1 + i), и так происходит до последнего года.
n = 0; С>0,
n = 1; С>1= С>0+ С>0∙i = С>0∙(1 + i),
n = 2; С>2= С>1+ С>1∙i = С>0∙(1 + i) + С>0∙(1 + i)∙i = С>0∙(1 + i)∙(1 + i) = С>0∙(1 + i)>2,
n = 3; С>3= С>2 + С>2∙i = С>0∙(1 + i)>2+ С>0∙(1 + i)>2∙i = С>0∙(1 + i)>2∙(1 + i) = С>0∙(1 + i)>3
……
n = n; С>n= С>0∙(1 + i)>n.
Таким образом, общая формула сложных процентов записывается так: С>n = С>0∙(1 + i)>n. Из этой формулы, в свою очередь, можно определить значение процентной ставки i или число периодов n при известных остальных значениях переменной:
С другой стороны, если в формуле С>n = С>0∙(1 + i)>n перейти к логарифмам, получим:
Эти формулы используются как для расчета будущей стоимости капитала, вложенного под определенные проценты, так и для расчета годовой суммы процентов, полученной на вложенный капитал, а также для определения числа лет или периодов времени, по прошествии которых мы получим заданную сумму.
* * *
Если i = 12 % годовых, но проценты начисляются ежемесячно (n = 12), эквивалентная процентная ставка будет равняться
где i = 12 % годовых, n = 12 месяцев.
Если бы проценты начислялись раз в квартал, то эквивалентная процентная ставка равнялась бы
где i = 12 % годовых, n = 4 квартала.
Реальная процентная ставка изменяется под влиянием инфляции. Так, если мы вложим средства в государственные облигации под 5 %, а инфляция составит 3 %, реальная процентная ставка, характеризующая реальный прирост покупательной способности денег, будет определяться как разность между номинальной процентной ставкой и уровнем инфляции.
Реальная процентная ставка = Номинальная процентная ставка — Уровень инфляции.
Формула сложных процентов очень проста в использовании. Покажем, как можно вычислить конечную стоимость денег при известных процентной ставке и периоде времени. Например, если мы вложим первоначальный капитал C>0 = 10 000 евро на три года под 5 % годовых, каким будет конечный капитал С>3?
C>0 = 10000 евро; i = 5 % (0,05), n = 3 года.
Применив формулу С>3 = С>0∙(1 + i)>3 получим:
С>3 = 10000∙(1 + 0,05)>3 = 10000∙1,157625 = 11576,25 евро.
Однако расчет сложных процентов становится труднее, если другие члены этого уравнения неизвестны. Так, перед инвестором может встать вопрос: на какой срок нужно вложить капитал под определенный процент, чтобы вложенный капитал удвоился или чтобы получить определенную сумму?
Рассмотрим простой пример: допустим, мы хотим определить, за какой период времени вложенный капитал в 10000 евро удвоится, если процентная ставка находится на уровне i = 5 %. Зная начальный капитал С>0 = 10000 евро, конечный капитал С>n = 20000 евро и процентную ставку i = 5 %, применим формулу
и получим следующий результат:
Логарифмы легко вычислить с помощью инженерного калькулятора, программы наподобие Excel или на интернет-сайтах (для этого введите в строку поиска log х).
* * *
СКОЛЬКО ПРОЦЕНТОВ Я ПЛАЧУ НА САМОМ ДЕЛЕ?
Этим вопросом может задаться, например, покупатель автомобиля, выплачивающий автокредит.
