Семантическая концепция истины и основания семантики - [6]
У нас нет никаких дальнейших требований к формальной структуре объектного языка и мета-языка, мы предполагаем, что они похожи на другие формализованные языки, известные к настоящему времени. В частности, мы предполагаем, что в мета-языке соблюдаются обычные формальные правила определения.
10. Условия позитивного решения главной проблемы.
Теперь у нас имеется ясное представление и об условиях материальной адекватности определения истины, и о формальной структуре языка, в котором должно быть сформулировано это определение. В этих обстоятельствах проблема определения истины приобретает характер четкой и чисто дедуктивной проблемы.
Однако само решение проблемы никоим образом не очевидно, и я не смог бы сформулировать его во всех деталях, не обращаясь к аппарату современной логики. Здесь я ограничусь кратким очерком этого решения и обсуждением некоторых моментов, связанных с ним и имеющих более общий интерес.
Решение оказывается иногда положительным, а иногда отрицательным. Это зависит от некоторых формальных отношений между объектным языком и его мета-языком или, говоря более конкретно, от того, является ли мета-язык в своей логической части существенно богаче объектного языка или нет. Нелегко сформулировать общее и точное определение понятия быть существенно богаче. Если мы ограничиваемся языками, опирающимися на логическую теорию типов, то быть существенно богаче для мета-языка означает содержать переменные более высокого логического типа, чем переменные объектного языка.
Если условие быть существенно богаче не выполнено, то обычно можно показать, что возможна интерпретация мета-языка в объектном языке. Это означает, что любому термину мета-языка можно сопоставить вполне определенный термин объектного языка, так что утверждаемые предложения одного языка оказываются соотнесенными с утверждаемыми предложениями другого языка. В итоге рушится предположение о том, что в мета-языке можно сформулировать удовлетворительное определение истины, так как благодаря этой интерпретации оказывается возможным реконструировать антиномию лжеца.
(Тот факт, что в своей внелогической части мета-язык обычно шире объектного языка, не влияет на возможность интерпретации первого во втором. Например, в мета-язык входят имена выражений объектного языка, хотя чаще всего они не встречаются в самом объектном языке, однако может существовать возможность интерпретировать эти имена в терминах объектного языка.)
Таким образом, мы видим, что условие быть существенно богаче является необходимым для удовлетворительного определения истины в мета-языке. Если же мы хотим сформулировать теорию истины в мета-языке, невыполняющем этого условия, то нам придется отказаться от идеи определить истину только с помощью тех терминов, которые были указаны выше (см. раздел 8). Тогда мы должны будем включить термин истинно или какой-либо иной семантический термин в список неопределяемых терминов мета-языка и выразить фундаментальные свойства понятия истины в ряде аксиом. В такой аксиоматической процедуре нет ничего существенно неверного и для некоторых целей она может оказаться полезной [15].
Однако вовсе не обязательно использовать эту процедуру. Условие быть существенно богаче для мета-языка оказывается не только необходимым, но также и достаточным для построения удовлетворительного определения истины, т. е. если мета-язык выполняет это условие, то понятие истины может быть определено в нем. Теперь мы покажем в самом общем виде, как может быть осуществлено это построение.
11. Построение (краткий очерк) определения [16].
Определение истины можно очень просто получить из определения другого семантического понятия – понятия выполнимости.
Выполнимость есть отношение между произвольными объектами и определенными выражениями, называемыми пропозициональными функциями. Это выражения типа x бел, x больше, чем у и т. п. Их формальная структура аналогична структуре предложений, но они могут включать в себя так называемые свободные переменные (как х и у в выражении x больше, чем у), которые не могут входить в предложения.
При определении понятия пропозициональной функции для формализованных языков мы обычно пользуемся рекурсивным методом, т. е. сначала описываем пропозициональные функции простейшего вида (что, как правило, не встречает трудностей), а затем указываем операции, посредством которых из простых могут быть построены более сложные функции. Такой операцией может быть, например, образование логической дизъюнкции или конъюнкции двух данных функций, т. е. соединение их с помощью слов или либо и. Предложение теперь можно определить просто как пропозициональную функцию, не содержащую свободных переменных.
