Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга - [6]
На середине нашего повествования мы впервые встречаем имя Фибоначчи, который в 1220 году вычислил приближенное значение π = 3,141818 в одной из своих работ «Практика геометрии» (Practica geometriae), несколько вольно применив метод Архимеда.
Но не будем забегать вперед. Обратим внимание на фигуру Мухаммеда ибн Муса аль-Хорезми (ок. 780–850 гг.), также называемого аль-Хорезми. От видоизмененного имени аль-Хорезми берет начало термин «алгоритм». Аль-Хорезми является автором «Книги о восполнении и противопоставлении», от арабского названия которой происходит слово «алгебра». Его труды, переведенные на Западе, имели огромнейшее влияние. Аль-Хорезми также рекомендовал использовать значение 3,14 в простых расчетах и 3,1416 — в сложных, например, в астрономии.
Героический образ аль-Хорезми, запечатленный на советской марке 1983 года (аль-Хорезми жил на территории современного Узбекистана).
В 1424 году другой персидский ученый Джамшид ал-Каши (1380–1429) из Самарканда рассчитал значение 2π с точностью до 9 знаков, используя шестидесятиричную систему счисления (в ней числа записываются следующим образом: 1/60 = 0,1; 1/60>2 = 1/360 = 0,01 и т. д.). После перевода в десятичную систему счисления это соответствует точности в 16 знаков после запятой. Ал-Каши вычислил:
2π = 6 + 16/60 + 59/60>2 + 28/60>3 + 1/60>4 + 34/60>5 + 51/60>6 + 46/60>7 + 14/60>8 + 50/60>9 + …,
используя многоугольники с числом сторон 3∙2>28. За четверть века до него, в 1400 году, индийский математик Мадхава из Сангамаграма (ок. 1350 — ок. 1425) вычислил π с точностью до 13 знаков. Кроме того, расчеты Мадхавы отличаются оригинальностью: в них впервые используется бесконечный ряд для оценки значения π. Формула Мадхавы позднее стала известна в западном мире как «ряд Лейбница», но Мадхава открыл ее намного раньше:
π/4 = 1–1/3 + 1/5 — 1/7 + 1/9 — …
Этот ряд сходится очень медленно. Чтобы получить более или менее приемлемый результат, необходимо сложить тысячи членов ряда. Мадхава использовал этот ряд в преобразованном виде:
π = √12∙[1 — (1/3∙3) + (1/5∙3>2) — (1/7∙3>3) +…]
что и помогло ему вычислить π.
Немецкий ученый Валентин Отто (ок. 1550–1603), ярый последователь Коперника, в 1573 году рекомендовал использовать π = 355/113 ~ 3,1415929… Однако это не идет ни в какое сравнение с результатами, полученными спустя некоторое время с помощью передовых способов вычисления, а не просто путем аккуратно проведенных расчетов. Французский математик Франсуа Виет вычислил девятый знак числа π обычным способом, используя метод Архимеда и многоугольник с 393216 (6∙2>16) сторонами. Хотя ему и удалось вывести важную формулу, связанную с π, он не смог применить ее из-за сложных вычислений: его формула включает вычисление квадратного корня из квадратного корня числа. На современном языке математики формула Виета записывается следующим образом:
Вывод этой и других формул подробно объясняется в главе 4.
ФРАНСУА ВИЕТ (1540–1603)
Строго говоря, Виета нельзя назвать профессиональным математиком: он был адвокатом, а после восшествия на престол Генриха IV занял должность при дворе и даже служил королевским советником. Легендарную известность ему принесла криптография: он с легкостью расшифровывал послания испанского монарха Филиппа II, врага Генриха IV. Филипп II в конце концов заподозрил, что французский король заключил сделку с дьяволом, поскольку ему удавалось мгновенно угадывать все его дипломатические уловки, Виет достиг отличных результатов в геометрии и алгебре, продвинул вперед тригонометрию и решение уравнений. Возможно, важнейшим из его открытий является создание современного символического языка алгебры, который произвел революцию в математике и способствовал прогрессу в науке.
Его принципиальным соперником, а впоследствии другом был Адриан ван Роумен (1561–1615).
Виет предложил ему задачу о касающихся окружностях, известную как задача Аполлония.
В задаче Аполлония необходимо найти все окружности, касающиеся трех данных окружностей. По традиции, решение нужно было найти только с помощью циркуля и линейки.
* * *
Друг и соперник Виета, голландский геометр Адриан ван Роумен (1561–1615) бросил все силы на изучение метода Архимеда и, использовав многоугольники с огромным числом сторон, в 1593 году с точностью определил 16 десятичных знаков π.
Но огромный труд ван Роумена не сравнится с работой, которую проделал Аюдольф ван Цейлен (1540–1610). Этот немецкий математик был одержим идеей вычисления числа π. В 1596 году он нашел первые 20 знаков, позднее доведя число знаков до 35, которые стоит привести здесь:
π = 3,14159265358979323846264338327950288…
В общем случае эта задача имеет восемь различных решений.
Ван Цейлен получил такую известность, что во многих странах число π стало известно как лудольфово число. Свое любимое число ван Цейлен даже повелел высечь на своем надгробии в городе Лейден. К сожалению, во время Второй мировой войны его могила была разрушена. В главе 5 приведена иллюстрация, на которой изображена его могила с нанесенными на каменное надгробие знаками числа π, восстановленная в 2000 году. Упорные труды ван Цейлена заслуживают подобного памятника.
