Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга - [27]
Рекорды по запоминанию π быстро сменяют друг друга, каждый участник стремится во что бы то ни стало побить прошлое достижение. Иногда также учитывается не только количество верно названных знаков, но и скорость, с которой рекордсмен может их воспроизвести. Но не будем углубляться в тонкости. Если говорить об абсолютном рекорде по числу запомненных знаков, то он принадлежит украинцу Андрею Слюсарчуку, который запомнил 30 миллионов цифр. Это достижение выглядит столь невероятным, что даже в Книге рекордов Гиннеса оно не было отмечено как мировой рекорд.
Официально утвержденный рекорд был установлен в 2006 г. и принадлежит японцу Акире Харагучи, который запомнил сто тысяч знаков. Не следует полагать, что эти рекорды устанавливают лишь фанатики числа π: в списке рекордсменов фигурируют и всемирно известные ученые, например американец Александр Айкен или канадец Саймон Плуфф.
В музыке число π встречается не столь широко, несмотря на традиционную близость музыки и математики. Вспомним, что в повсеместно применяемом равномерно темперированном строе каждая октава делится на математически равные интервалы с соотношением частот >12√2. Диатоническая гамма, сформулированная еще в древности, представляется в виде так называемых квинт с соотношением частот 3:2. Мы приводим эти технические моменты в качестве введения к последующим объяснениям.
Современный музыкальный строй берет начало еще во времена Пифагора. В его основе лежат ноты так называемой диатонической системы (до, ре, ми, фа, соль, ля, си). В пифагорейском строе ноты соответствовали частоте вибрации струны. Грубо говоря, разным частотам соответствовали разные ноты. Различие между вибрациями (нотами) измерялось в интервалах. Интервалы получаются не вычитанием одной частоты из другой, как можно было бы думать, а их делением. Результат деления двух частот выражался в виде простой дроби. Например, квинта — интервал шириной в пять ступеней — означает результат деления частоты данной ноты на частоту ноты, отстоящей от нее на пять ступеней, и равен 3/2. Интервал октавы охватывает восемь ступеней диатонического ряда, например от «ре» до следующего «ре». Соотношение частот между звуками равно 2/1 = 2.
Рассмотрим пример. Если нажать на центральную клавишу пианино, мы услышим ноту «ля» частотой в 440 герц (колебаний в секунду). Если нажать на следующую «ля», расположенную на семь белых клавиш правее, новый звук будет иметь частоту в 880 герц. Разница между этими нотами (то есть интервал между ними) в музыке выражается дробью 880/440 = 2.
Этот интервал и является так называемой октавой. Две ноты, разделенные между собой интервалом в одну октаву (в нашем примере это нота «ля»), звучат одинаково, но явно различаются по высоте. Пифагор, во времена которого пианино еще не существовало, обнаружил этот факт, играя на одной струне: если зажать струну точно посередине, то полученная нота будет той же, что и для всей струны.
Этот строй идеально подходил для струнных инструментов, но с его помощью нельзя было качественно измерить небольшие различия между нотами, например диезы и бемоли. Это привело к появлению так называемого равномерно темперированного строя: в него наряду с обычными нотами включены диезы и бемоли. Это делается с помощью равных интервалов. Соотношение частот между соседними интервалами равно >12√2. Полученный таким образом строй получил название темперированного.
Значение >12√2 получается следующим образом. Нам нужно разделить на 12 равных частей интервал длиной 2 (2 — это отношение частот в начале и конце интервала) так, чтобы отношение частот между соседними частями интервала было неизменным. Полученные частоты образуют геометрическую прогрессию со знаменателем >12√2.
Ноты равномерно темперированного строя, слева направо: до, до-диез, ре, ре-диез, ми, фа, фа-диез, соль, соль-диез, ля, си-диез, си, до. Ноты диатонического строя: до, ре, ми, фа, соль, ля, си, до.
Последовательность из 12 интервалов, по одному на каждую ноту, выглядит так:
>12√2, (>12√2)>2, (>12√2)>3, (>12√2)>4, (>12√2)>5, (>12√2)>6, (>12√2)>7, (>12√2)>8, (>12√2)>9, (>12√2)>10, (>12√2)>11, (>12√2)>12 = 2
В XVIII веке появилась новая система интервалов, в которой значение квинты было равно 600 + 300/π. Новый музыкальный строй относительно недавно был предложен Чарльзом Люси (род. в 1946) и носит его имя. Необходимо пояснить, что это отдельная, уже запатентованная система.
Другое музыкальное проявление числа π — возможность «услышать» его знаки: в Интернете можно найти программы, которые позволяют «сыграть число π». Для этого всем десяти цифрам присваиваются определенные ноты. Для каждой следующей цифры программа воспроизводит соответствующую ей ноту. Поскольку знаки π являются (или кажутся) случайными, то полученная композиция также будет случайной. Вероятнее всего, слушателю станет скучно слушать бесконечные цифры, но нельзя отрицать, что очень, очень длинная случайная композиция может звучать даже приятно. В диатоническом строе существует 7>10 различных способов образовать мелодию из семи нот (в этом строе нет ни диезов, ни бемолей). В комбинаторике говорят, что существует 7
