Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга - [2]
L/d = π.
Или, что то же самое,
L = π∙d = π2r = 2πr,
где r — радиус окружности, d = 2r.
Отношение длины окружности к ее диаметру постоянно. Это соотношение интуитивно понятно и становится очевидно после несложных наблюдений. С увеличением диаметра (диаметр равен удвоенному радиусу r) пропорционально возрастает длина окружности.
Чем больше диаметр колеса, тем больше (и пропорционально больше) расстояние, пройденное точкой колеса при полном обороте. Иными словами,
длина окружности/диаметр окружности = константа ~ 3,14.
Знак ~ читается как «приближенно равно». На протяжении большей части истории числа π ученые старались сделать это приближение как можно более точным, находя всё новые знаки справа от 3,14.
Математики использовали все свое умение, чтобы рассчитать число π с наиболее возможной точностью, добавляя десятичные с героическими усилиями.
ВЫПРЯМЛЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ
Выпрямление кривой означает измерение ее длины. В простейшей задаче о выпрямлении кривой речь идет об окружности.
При качении окружности длины р по прямой без скольжения окружность описывает один оборот, проходя расстояние, равное диаметру d, π раз. Этот процесс называется выпрямлением окружности. По результатам выпрямления окружности получим p/d = π.
* * *
Долгое время считалось, что когда-нибудь будет найдена последняя цифра числа π, но в 1882 году немецкий математик Фердинанд фон Линдеман (1852–1939) доказал, что это невозможно. Не существует и никогда не будет найдено способа получить «точное» значение π, пользуясь только циркулем и линейкой. Далее в этой книге мы попытаемся объяснить, почему это так.
Сначала число π имело другое название. Хотя к этому символу обращались многие математики, в частности Уильям Отред (1574–1660), Исаак Барроу (1630–1677) и Дэвид Грегори (1659–1708), «официально» его утвердил Уильям Джонс (1675–1749) в 1706 году в работе Synopsis Palmariorum Matheseos, где он использовал букву π, первую букву греческого слова «περιφε'ρεια» — «окружность». Впоследствии великий Леонард Эйлер (1707–1783), который сначала оперировал символами «с» и «р», остановился на греческой букве π, после чего это обозначение начало медленно, но верно распространяться в научном мире. Однако в XX веке в Египте число «пи» маркировали арабской буквой ta по нескольким причинам, в том числе из-за нежелания пользоваться европейскими обозначениями.
Сегодня символ π используется в математике в основном для обозначения числа π, но он также выполняет и другие задачи. Так, π(x) обычно отмечают функцию, показывающую «количество простых чисел, не превосходящих х». Если говорить о менее серьезных вещах, то этой буквой также обозначают гептамино — фигуру, состоящую из семи квадратов, соединенных сторонами, как показано на рисунке:
Многие авторитетные ученые, в том числе и Эйнштейн, считали число π фундаментальным в описании Вселенной. В том или ином виде число π всегда будет всплывать в описании любого явления природы, связанного с окружностями, кругами или вращением, подобно тому как пробка всплывает на поверхность воды. Как и другие константы, π всегда будет сопровождать нас.
С другой стороны, множество людей, которым в той или иной степени интересна нумерология, ищут число π буквально повсюду, как если бы существовала некая теория заговора, связанная с π. Так называемая постоянная тонкой структуры, обозначаемая как ОС, — излюбленная жертва поклонников числа π. Нобелевский лауреат Вернер Гейзенберг (1901–1976) много лет назад предположил, что
1/α = 2>4∙3>3/π
Но Гейзенберг был не единственным, кто искал связь между этими константами. В различных трудах фигурируют и другие подобные соотношения достаточно высокой точности, например:
ПЛАНЕТА МАЛЕНЬКОГО ПРИНЦА
Существует любопытный факт, который далеко не очевиден. Так как для окружности выполняется соотношение
длина/диаметр — константа,
то при увеличении знаменателя в некоторое число раз числитель увеличится в это же число раз. Проиллюстрируем это простым примером. В сказке французского писателя и авиатора Антуана де Сент-Экзюпери (1900–1944) «Маленький принц» главный герой обходит свою планету и чистит вулканы. Допустим, что он обходит всю планету по меридиану. Рост принца ровно 1 метр. Если он пройдет 1000 метров, какое расстояние пройдет его голова? Будем производить все расчеты в метрах. Так как Маленький принц проходит 1000 метров и
длина окружности = 2π∙r,
очевидно, что
пройденное расстояние = 1000 = 2π∙r.
Рост принца равен 1 метру. Приняв за С расстояние, пройденное его головой, получим
C = 2π∙(r + 1).
Вычтем первое равенство из второго. Имеем:
расстояние в метрах, пройденное головой — расстояние в метрах, пройденное ногами
С = 1000 — 2π∙(r + 1) — 2πr = 2π∙(r + 1 — r) = 2π ~ 6,28.
Разница составляет 6,28 м. Любопытно, что радиус планеты никак не влияет на это значение.
Фактически, если мы прибавим к радиусу исходной окружности 1 метр, ее длина увеличится на 6,28 м. Если бы радиус астероида составлял 1000 километров, то дополнительное расстояние, пройденное головой Маленького принца, осталось бы таким же: 6,28 м.
Обложка «Маленького принца»
