Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - [23]
log>(x − у)(x + у) ≥ 1.
17.7. Найдите площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств
17.8. На координатной плоскости заданы точки A(0; 2), B(1; 7), С(10; 7) и D(7; 1). Найдите площадь пятиугольника ABCDE, где E — точка пересечения прямых AC и BD.
17.9. Фигура задана на координатной плоскости системой
Сколько интервалов на прямой у = 2 − x образует ортогональная проекция данной фигуры на эту прямую?
17.10. При каких значениях параметра а уравнение
x² − (а + 3)x + 2а + 7 = 0
имеет 2 различных целых корня?
17.11. В зависимости от а определите число действительных корней уравнения
х>4 − (1 − 2а)x² + а² − 1 = 0.
17.12. При каких значениях параметра а уравнение
2(2а − 1) sin 4х − (а + 3) cos 8х + 3а = 1
имеет ровно восемь решений на отрезке [−π, π]?
17.13. На плоскости (x, у) укажите все точки, через которые не проходит ни одна из кривых семейства
у = x² + 2(а − 1)x + 2(а − 1)² − 1,
где а — действительное число.
Глава 18
Задачи на составление уравнений
При решении задач на составление уравнений основную трудность представляет перевод условия задачи с обычного языка на язык математических символов и уравнений. Наиболее ответственный этап этого процесса — выбор неизвестных. Нельзя шаблонно выбирать в качестве неизвестных величины, стоящие в вопросе задачи. Основное требование, которому должны отвечать выбранные неизвестные, состоит в том, чтобы с их помощью можно было прозрачно записать сформулированные в условии задачи соотношения.
Разберем в качестве примера следующую задачу.
Пример 1. Трое рабочих должны изготовить некоторое число деталей. Сначала к работе приступил первый, а через некоторое
время к нему присоединился второй. Когда >1/>6 работы была выполнена, к работе приступил третий. Работу они закончили одновременно. Сколько времени работал первый рабочий, если каждый изготовил одинаковое число деталей, причем третий работал на 2 ч меньше второго? Известно, что первый и второй, работая вместе, могут изготовить требуемое число деталей на 9 ч раньше, чем третий, если бы он работал один.
Известно, что каждый рабочий изготовил одинаковое число деталей, т. е. выполнил треть всей работы. С другой стороны, нет никаких сведений о числе деталей, изготовленных кем-либо в какой-либо промежуток времени. Это означает, что речь идет о работе «вообще», о том, что каждый выполнял какую-то часть этой работы, а потому всю работу следует принять за единицу. Ту же мысль подтверждает и условие, в силу которого третий рабочий приступил к работе, когда >1/>6 работы (обратите внимание: >1/>6 всей работы, а не 45 или 27 деталей) была уже выполнена.
Из условия следует, что рабочие работают по-разному, другими словами, они изготовляют разное число деталей за одно и то же время. Поэтому нужно ввести в рассмотрение производительность каждого из них. Однако через x, у и z мы обозначим не число деталей, изготовляемых в час первым, вторым и третьим рабочими соответственно, а ту часть всей работы, которую каждый из них выполняет за это время.
После всего сказанного должно быть очевидным, что мы легко перепишем условие задачи в виде системы уравнений, если введем в рассмотрение еще три неизвестные: t>1, t>2, t>3 — время, затраченное соответственно первым, вторым и третьим рабочими. Так как каждый из них сделал за это время треть всей работы, то
t>1x = t>2у = t>3z = ⅓. (1)
Мы получили три уравнения (их можно было написать в виде t>1x = ⅓, t>2у = ⅓, t>3z = ⅓. K ним нередко добавляют четвертое:
t>1x + t>2у + t>2z = 1,
которое должно отражать то обстоятельство, что в итоге вся работа была выполнена. Однако это уравнение не содержит никакой самостоятельной информации: оно является следствием первых трех и получается в результате их сложения. Поэтому последнее уравнение, хотя и верно составлено, но бесполезно для решения задачи.
Так как первый и второй рабочие вместе выполняют всю работу за >1/>x + y ч, а третьему на это потребуется >1/>z ч, то еще одно условие задачи можно записать так:
>1/>x + y + 9 = >1/>z. (2)
Составим теперь уравнение, отражающее тот факт, что третий рабочий приступил к работе, когда ее >1/>6 была выполнена. Другими словами, когда первый проработал t>1 − t>3 ч, а второй t>2 − t>3 ч, они сделали >1/>6 всей работы:
x(t>1 − t>3) + у(t>2 − t>3) = >1/>6. (3)
Добавляя к этим пяти уравнениям шестое:
t>2 − t>3 = 2, (4)
мы можем приступить к решению полученной системы уравнений.
Решая систему уравнений, как правило, следует держать в поле зрения два обстоятельства. Во-первых, систему уравнений нужно воспринимать в целом, так, как вы воспринимали бы ее, решая вне связи с задачей. Это позволит найти более рациональный ключ к ее решению. Во-вторых, нельзя упустить из виду те неизвестные (или комбинации неизвестных), которые позволят ответить на вопрос задачи. Благодаря этому можно обойтись без излишних вычислений.
В нашем примере второе обстоятельство должно побудить нас использовать уравнение (4) для упрощения уравнения (3), в результате чего из (3) будет исключено неизвестное t>2, которое нас не интересует. Однако после замены t>2 − t>3 на 2 уравнение (3) потеряет симметрию относительно
