Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - [21]

= 1 применить общую формулу, то получим

x = nπ + (−1)^n π/₂.

При n = 2k получим x = 2kπ + ^π/₂, а при n = 2k + 1 получим x = 2kπ + π − ^π/₂ = 2kπ + ^π/₂. При четном и нечетном n мы пришли к одинаковому ответу. Но этот же ответ можно получить гораздо проще, если не пользоваться общей формулой. Достаточно заметить, что sin x = 1 тогда и только тогда, когда подвижный радиус вертикален и направлен вверх.

Поэтому целесообразно помнить решения уравнений:

sin x = 0, x = nπ;      sin x = 1, x = ^π/₂ + 2nπ;     sin x = −1, x = − ^π/₂ + 2nπ;

cos x = 0, x = ^π/₂ + nπ;      cos x = 1, x = 2nπ;     cos x = −1, x = (2n + 1)π;

tg x = 0, x = nπ;      ctg x = 0, x = ^π/₂ + nπ.

При решении уравнений удобно пользоваться теоремами: уравнение cos x = cos у равносильно совокупности уравнений x + у = 2kπ, x − у = 2lπ; уравнение sin x = sin у равносильно совокупности уравнений x + у = (2k + 1)π, x − у = 2lπ. Обратите внимание на то обстоятельство, что в разных уравнениях, входящих в совокупность, вообще говоря, используют разные буквы для обозначения произвольного целого числа. Это следует из того, что уравнения для x + у и для x − у решаются независимо одно от другого. Переход от уравнения tg x = tg у к уравнению x − у = πk может привести к приобретению посторонних решений, если tg x и tg у перестают существовать.

Однородные уравнения. Уравнение вида

а₀ sin^kx + а₁ sin^{k − 1}x cos x + ...

... + а_{k − 1} sin x cos^{k − 1}x + а_k cos^kx = 0     (1)

называется однородным, так как все слагаемые его левой части имеют одинаковую степень относительно sin x и cos x.

При α₀ ≠ 0 среди решений уравнения (1) не содержится значений x, при которых cos x = 0. В самом деле, полагая cos x = 0, мы получаем из уравнения (1): а₀ sin^kx = 0, откуда sin^kx = 0, так как а₀ ≠ 0 по условию. Но это невозможно, поскольку нет таких значений x, при которых sin x и cos x одновременно обращаются в нуль.

Аналогично при а_к ≠ 0 среди решений уравнения (1) не содержится значений x, при которых sin x = 0.

Наметим пути решения уравнения (1). Рассмотрим два случая.

Случай 1. a₀ ≠ 0 и а_k ≠ 0. В этом случае, разделив уравнение (1) на cos^kx, мы получим (поскольку cos x ≠ 0) равносильное ему алгебраическое уравнение

а₀у^к + а₁у^{k − 1} + ... + а_{k − 1}у + а_k = 0       (2)

относительно у = tg x.

Можно также делить уравнение (1) на sin^kx. Тогда (поскольку sin x ≠ 0) мы получим равносильное уравнению (1) алгебраическое уравнение

а₀ + а₁z + ... + а_{k − 1}z^{k − 1} + а_kz^k = 0      (3)

относительно z = ctg x.

Пример 1. Решить уравнение

sin³ x − 2 sin² x cos x − sin x cos² x + 2 cos³ x = 0.     (4)

Разделив его на cos³ x, получим алгебраическое уравнение

у³ − 2у² − у + 2 = 0,

где у = tg x. Последнее уравнение легко решается путем разложения его левой части на множители, и мы находим корни:

у₁ = −1, у₂ = 1, у₃ = 2.

Теперь остается решить совокупность уравнений

tg x = −1, tg x = 1, tg x = 2.

Мы получим следующие корни уравнения (1):

x = nπ ± ^π/₄ , x = nπ + arctg 2.

Случай 2. a₀ = 0, или a_k = 0, или а₀ = a_k = 0. Пусть, например, a₀ = a_k = 0, а a₁ ≠ 0 и a_{k − 1} ≠ 0. Тогда уравнение (1) примет вид

a₁ sin^{k − 1}x cos x + a₂ sin^{k − 2}x cos² x + ...

... + a_{k − 2} sin² x cos^{k − 2}x + a_{k − 1} sin x cos^{k − 1}x = 0.      (5)

В левой части уравнения выносим за скобки все, что возможно (в случае уравнения (5) мы можем вынести за скобки произведение sin x cos x). В результате получим уравнение

sin x cos x (a₁ sin^{k − 1}x + a₂ sin^{k − 2}x cos x + ...

... + a_{k − 2} sin x cos^{k − 2}x + a_{k − 1} cos^{k − 1}x) = 0,

распадающееся на совокупность уравнений

sin 2х = 0,

a₁ sin^{k − 1}x + a₂ sin^{k − 2}x cos x + ...

... + a_{k − 2} sin x cos^{k − 2}x + a_{k − 1} cos^{k − 1}x = 0,

первое из которых решается просто (см. с. 77), а пути решения второго уравнения показаны в случае 1).

Пример 2. Решить уравнение

sin⁴x cos x − 2 sin³ x cos² x − sin² x cos³ x + 2 sin x cos⁴x = 0.

Левую часть уравнения разлагаем на множители:

sin x cos x (sin³ x − 2 sin² x cos x − sin x cos² x + 2 cos³ x) = 0. Получаем совокупность уравнений

sin x = 0, cos x = 0,

sin³ x − 2 sin² x cos x − sin x cos² x + 2 cos³ x = 0.

Решения первых двух уравнений даны на с. 77. Третье уравнение подробно рассмотрено в примере 1.

Системы тригонометрических уравнений. Предположим, что, преобразовывая систему тригонометрических уравнений, мы пришли к системе

Если переписать эту систему в виде

то, складывая и вычитая полученные уравнения, придем к выводу, что

Решили ли мы систему? Оказывается, нет. Решить систему — значит, найти все ее решения, а из поля нашего зрения выпало такое очевидное решение как x = ^3π/₂, у = ^π/₄ (ни при каком целом n из выражения ^π/₄ + ^3nπ/₂ нельзя получить ^3π/₄).

В чем же ошибка? Ошибка очень проста: переходя от первоначальной системы к выражениям относительно x + у и x − у, мы должны были сохранить их «независимость», которая присутствовала в исходной системе. Вместо этого мы «связали» их введением общего целочисленного переменного n.

Правильным было бы такое решение:

откуда

x = ^π/₄ + (2т + n), у = − ^π/₄ − ^π/₂ (2т − n).

Прежде чем приступать к решению задач, ознакомьтесь с введением к главе 9.

Решите уравнения:

13.1. 1 + sin 2x + 2√2 cos 3x sin (