Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - [20]

основание |а|.

Формула

(3)

является неабсолютным тождеством, так как ее правая часть перестает существовать при f(x) = 1, в то время как левая часть при соответствующих значениях x может существовать и обращаться в нуль.

Таким образом, применение формулы (3) может привести к потере решений, при которых f(x) = 1.

При решении уравнений вида

φ(x)^f(x) = φ(x)^g(x)       (4)

нужно воспользоваться условием равенства показателей: если φ(x) ≠ −1, 0, +1, то следствием уравнения (4) является уравнение

f(x) = g(x).           (5)

Пусть x = а — корень уравнения (4). Тогда

φ(а)^f(а) = φ(а)^g(а).

В силу (1) можно записать, что

|φ(а)|^f(а) = |φ(а)|^g(а).

Так как |φ(x)| ≠ 0, 1 и |φ(x)| > 0, то по свойству показательной функции имеем

f(а) = g(а),

т. е. x = а — корень уравнения (5).

Случаи, когда φ(x) равно −1, 0 или 1, нужно рассмотреть отдельно.

Решая уравнение (4), следует иметь в виду, что выражения вида ⁰/₀ и 0⁰ не имеют смысла.

11.1. Найдите log₅ 6, если lg 2 = а, lg 3 = b.

11.2. Найдите lg 122,5, если lg 5 = а, lg 7 = b.

11.3. Решите уравнение

11.4. Для каждого действительного числа а решите уравнение

9^{−|x − 2|} − 4 · 3^{−|x − 2|} − a = 0.

11.5. Для каждого действительного числа а решите уравнение

144^|x| − 2 · 12^|x| + а = 0.

Решите уравнения:

11.6.

11.7.

11.8.

11.9.

11.10. log₃(3^x − 1) log₃ (3^{x + 1} − 3) = 6.

11.11.

11.12.

11.13.

11.14.

11.15. log_0,5xx² − 14 log_16xx³ + 40 log_4x√x = 0.

11.16.

11.17.

11.18.

11.19.

 где а > 0, а ≠ 1.

11.20. Найдите неотрицательные решения системы уравнений

Решите системы уравнений:

11.21.

11.22.

11.23.

11.24.

11.25. 

11.26.

11.27.

11.28.

11.29.

11.30.

Глава 12 Тригонометрические преобразования

Основные тригонометрические формулы.

1. Зависимости между тригонометрическими функциями:

2. Тригонометрические функции суммы и разности аргументов:

sin (x ± у) = sin x cos у ± sin у cos x,

cos (x ± у) = cos x cos у ± sin x sin у,

3. Функции двойного и тройного аргумента:

sin 3х = 3 sin x − 4 sin³ x,     cos 3х = 4 cos³ x − 3 cos x.

4. Формулы понижения степени для синуса и косинуса:

5. Функции половинного аргумента:

6. Преобразование суммы функций в произведение:

7. Преобразование произведения функций в сумму:

sin x cos y = ½[sin (x − y) + sin (x + y)],

cos x cos y = ½[cos (x − y) + cos (x + y)],

sin x sin y = ½[cos (x − y) − cos (x + y)].

Все формулы нужно уметь читать не только «слева направо», но и «справа налево». Так, например, в записи sin ^π/₄ cos x − cos ^π/₄ sin x нужно узнавать sin (^π/₄ − x), а не принимать ошибочно за sin (x − ^π/₄), а в записи 

узнавать ctg ^x/₂.

Проверьте себя и напишите, чему равно выражение

 Если вы убеждены в том, что это выражение равно тангенсу половинного угла, обратите внимание на то обстоятельство, что выражение, о котором идет речь, неотрицательно, а тангенс половинного угла — знакопеременная функция. Таким образом,

и не следует писать в этом случае ±tg x. То же самое рассуждение можно провести для любой из приведенных выше формул, где перед корнем стоит ±. Мы ставим ±, чтобы «примирить» выражение, стоящее в левой части, которое может быть отрицательным, с неотрицательным корнем. Поставив ±, мы не получаем двузначную функцию; этот символ говорит лишь о том, что для каждого фиксированного x мы обязаны выбрать определенный знак, в зависимости от того, в какой четверти тригонометрического круга оказывается угол, стоящий под знаком функции в левой части формулы.

12.1. Упростите выражение

12.2. Докажите тождество

tg 2α tg (30° − α) + tg 2α tg (60° − α) + tg (60° − α) tg (30° − α) = 1.

12.3. Докажите тождество

12.4. Докажите, что tg (α + β) = 2 tg α, если

sin α cos (α + β) = sin β и α + β ≠ ^π/₂(2n + 1),  α ≠ ^π/₂(2n + 1), .

12.5. Вычислите без таблиц 

cos ^π/₇ cos ^2π/₇ cos ^4π/₇.

12.6. Вычислите без таблиц

tg ^π/₇ tg ^2π/₇ tg ^3π/₇.

12.7. Докажите, что если

 и

 то при аВ + bA ≠ 0

12.8. Докажите, что если |sin x| = |k sin у|, где −1 ≤ k ≤ 1, то произведение sin (x + у) sin (x − у) неположительно.

12.9. Докажите, что если sin α + sin β = а, cos α + cos β = b, то

12.10. Дано

2 tg² α tg² β tg² γ + tg² α tg² β + tg² β tg² γ + tg² γ tg² α = 1.

Вычислите sin² α + sin² β + sin² γ.

12.11. Углы α, β, γ образуют арифметическую прогрессию с разностью ^π/₃ . Вычислите

А = tg α tg β + tg β tg γ + tg α tg γ.

12.12. Сумма трех положительных чисел α, β и γ равна ^π/₂. Вычислите произведение ctg α ctg γ, если известно, что ctg α, ctg β и ctg γ образуют арифметическую прогрессию.

12.13. Вычислите без калькулятора и без таблиц

sin 106° + cos 106° ctg 8°.

Глава 13 Тригонометрические уравнения и системы

Простейшие тригонометрические уравнения.

sin x = а, x = nπ + (−1)ⁿ arcsin а, |а| ≤ 1,

cos x = а, x = 2nπ ± arccos а, |а| ≤ 1,

tg x = а, x = nπ + arctg а,

ctg x = а, x = nπ + arcctg а.

Во всех формулах n — произвольное целое число, т. е. n = 0; ±1; ±2; ±3; ... .

Решения уравнения sin x = а часто удобно записывать в виде двух серий корней:

x = 2nπ + αrсsin а,    x = π(2n + 1) − arcsin а.

Хотя приведенные формулы для решений уравнений sin x = а и cos x = а верны при всех значениях а, удовлетворяющих указанным справа ограничениям, при некоторых а эти формулы дают неудобный ответ.

Так, например, если к уравнению sin