Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы - [12]
Глава 7
Алгебраические преобразования
Следующие ниже замечания относятся не только к этой главе, они имеют более общий характер.
Множества точек x числовой оси, удовлетворяющих неравенствам
1) а < x < b;
2) а ≤ x ≤ b;
3) а ≤ x < b;
4) а < x ≤ b;
5) x > а;
6) x < а;
7) x ≥ а;
8) x ≤ а,
где а < b, называются интервалами и обозначаются соответственно (а, b); [а, b]; [а, b), (а, b]; (а, +∞); (−∞, а); [а, +∞); (−∞, а].
Интервалы 1), 5) и 6) называются открытыми; интервал 2) называется замкнутым; интервалы 3), 4), 7) и 8) называются полуоткрытыми. Иногда вместо терминов: открытый интервал, замкнутый интервал, полуоткрытый интервал используют соответственно термины: промежуток (или интервал), отрезок (или сегмент), полуотрезок.
По определению
Для арифметического корня имеет место формула
√а² = |а|.
Иногда приходится пользоваться формулами куба суммы и разности чисел в виде
(а + b)³ = а³ + b³ + 3аb(а + b);
(а − b)³ = а³ − b³ − 3аb(а − b).
Следующая формула называется формулой сложного радикала:
(все подкоренные выражения должны быть неотрицательными).
По определению
где а ≥ 0, m, n — натуральные числа и корень арифметический.
Из этого определения следует, что степени с отрицательным основанием и дробным показателем считаются не имеющими смысла. Например,
По определению
По определению
α>0 = 1 при а ≠ 0.
Чтобы избежать недоразумений, удобно договориться, что знак корня используется либо для обозначения арифметического корня из неотрицательного числа, либо отрицательного корня нечетной степени из отрицательного числа.
Таким образом,
Для арифметических корней и корней нечетной степени из отрицательных чисел справедливо правило умножения и деления корней:
Правило, в силу которого показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же натуральное число, справедливо для арифметических корней и не справедливо для корней нечетной степени из отрицательных чисел.
Замечание. В качестве показателя корня используются только натуральные числа. Иногда встречаются задачи, где показатели — достаточно сложные алгебраические выражения. Во избежание путаницы лучше знак корня в таких задачах не использовать, а прибегать к дробным показателям степени.
7.1. Упростите выражение
7.2. Упростите выражение
7.3. Упростите выражение
После упрощения выражения определите его знак в зависимости от x.
7.4. Упростите выражение
7.5. Упростите выражение
где
7.6. Вычислите значения выражения
7.7. Преобразуйте выражение
так, чтобы оно не содержало сложных радикалов.
7.8. Разложите на линейные относительно x, у, z, u множители выражение
(xy + zu)(x² − y² + z² − u²) + (xz + yu)(x² + у² − z² − u²).
7.9. Докажите, что
7.10. Докажите, что если а + b + с = 0, то
7.11. Докажите, что при всех действительных значениях x и у имеет место равенство
7.12. Докажите, что
для любых действительных x и у, имеющих одинаковые знаки.
7.13. Докажите, что из условия
следует
(а + b + с)³ = 27аbс.
7.14. Квадратный трехчлен 24х² + 48x + 26 есть разность кубов двух линейных функций с положительными коэффициентами. Найдите эти функции.
Глава 8
Делимость многочленов.
Теорема Безу. Целые уравнения
Многочлен S(x) называется частным, а многочлен R(x) — остатком от деления многочлена P(x) на многочлен Q(x), если равенство
P(x) = Q(x) · S(x) + R(x)
является тождеством и степень многочлена R(x) меньше степени многочлена Q(x).
Обобщенная теорема Виета. Для корней х>1, х>2, ..., х>n уравнения
а>0х>n + a>1x>n − 1 + ... + а>n> − 1x + а>n = 0
имеют место формулы:
Для уравнения a>0x>n + a>1x>n − 1 + ... + а>n = 0 с целыми коэффициентами а>0, а>1, ... , а>n верна теорема: если уравнение имеет рациональный корень >p/>q , то p числитель является делителем свободного члена а>n, а знаменатель q — делителем коэффициента а>0.
В частности, если а>0 = 1, то уравнение может иметь только такие целые корни, которые являются делителями свободного члена а>n.
8.1. Решите уравнение
(x − 4,5)>4 + (x − 5,5)>4 = 1.
8.2. Решите уравнение
(4x + 1)(12x − 1)(3x + 2)(x + 1) = 4.
8.3. Докажите, что уравнение
x² − 3у² = 17
не имеет решений в целых числах.
8.4. Найдите все целые решения уравнения
x² − 6xу + 13у² = 100.
8.5. Найдите остаток от деления многочлена x>99 + x³ + 10x + 5 на многочлен x² + 1.
8.6. Найдите все целочисленные решения уравнения
2x²у² + у² − 6x² − 12 = 0.
8.7. В уравнении
x>4 + аx³ + bx² + 6x + 2 = 0
один из корней равен √3 + 1. Найдите остальные корни уравнения, если а и b — рациональные числа.
8.8. При каких значениях а оба корня уравнения
x² − (а + 1)x + а + 4 = 0
отрицательны?
8.9. Найдите соотношение между а, b и с, если корни уравнения
x³ + аx² + bx + с = 0
образуют геометрическую прогрессию.
8.10. Известно, что уравнение x³ + px + q = 0 имеет корни α>1, α>2, α>3. Выразите сумму α>1² + α>2² + α>3² через p и q.
8.11. При каких а и α трехчлен х³ + ax + 1 делится на двучлен x − α без остатка и частное от деления при всех x больше нуля?
8.12. Остатки от деления многочлена относительно x на x − 2 и x − 3 равны соответственно 5 и 7. Найдите остаток от деления этого многочлена на (x − 2)(
