Самые знаменитые головоломки мира - [71]

дистанции, а черепаха – 17/24. Следовательно, черепаха двигалась в 17/4 раза быстрее зайца. Зайцу предстоит пройти теперь 5/6 дистанции по сравнению с 1/6 для черепахи, так что он должен бежать в 5 раз быстрее, чем черепаха, то есть в 85/4 раза быстрее, чем раньше.

258. Ответ показан на рисунке.

259. На рисунке показано, каким образом можно соединить В и А, истратив 233 дюйма провода.

260. [С. Лойд приводит лишь ответы на обе части задачи, но не объясняет их получения.

Первую часть можно решить следующим образом. Пусть длина колонны и время, за которое армия проходит эту длину, равно 1. Скорость движения армии также будет равна 1. Пусть далее х – расстояние, которое проезжает курьер в обе стороны, а также его скорость. На пути в голову колонны его скорость относительно колонны будет равна х – 1. На обратном пути его относительная скорость будет равна х + 1. По отношению к колонне на пути туда и обратно всадник должен преодолеть расстояние, равное 1, и весь этот путь совершается за время, равное 1. Поэтому мы можем составить следующее уравнение: 1/ (x-1) + 1/(x+1) = 1 которое легко преобразовать к виду х² – х = 0.

Поскольку х – положительно, то

Умножив эту величину на 50, мы и получим ответ в милях, равный приближенно 120,7. Другими словами, курьер проезжает расстояние, равное длине колонны плюс та же самая длина, умноженная на квадратный корень из двух.

Аналогичным образом можно решить и вторую часть задачи. В этом случае скорости курьера относительно движущейся армии будут соответственно равны: х-1 на пути вперед, х + 1 на пути назад и

на двух диагональных участках. (Поскольку место, с которого курьер начнет свой путь, роли не играет, мы ради простоты предполагаем, что он начинает свой путь в конце заднего ряда, а не в его середине.)

Как и прежде, каждый участок пути курьера относительно каре равен 1, а поскольку все четыре участка он проезжает за единичное время, мы можем записать:

Это уравнение можно записать в виде х⁴ – 4х³– 2x²+ 4х + 5 = 0, и только один его корень, равный приближенно 4,18112, удовлетворяет условиям задачи. Умножив эту величину на 50, мы получим ответ, равный 209,056 мили. – М. Г.]

261. Ответ показан на рисунке.

262. Зная, что на каждой полке содержится ровно 20 кварт, начнем решать задачу, убрав 6 маленьких банок с каждой из двух нижних полок. У нас остаются 2 большие банки на средней полке и 4 средние банки на нижней полке, откуда видно, что 1 большая банка содержит столько же джема, сколько и 2 средние.

Возвратим убранные банки, а затем удалим 2 большие банки со средней полки и их эквиваленты с верхней полки: 1 большую и 2 средние банки. При этом на верхней полке останутся 1 средняя и 3 маленькие банки, а на средней – 6 маленьких банок, откуда видно, что 1 средняя банка содержит столько же джема, сколько и 3 маленькие.

Теперь заменим все большие банки парами средних; затем заменим все средние банки тройками маленьких. При этом всего получится 54 маленькие банки. Если 54 маленькие банки содержат 60 кварт, то 1 маленькая банка будет содержать 1 1/9 кварты, средняя банка – 3 1/3 кварты, а большая – 6 2/3 кварты.

263.Кратчайшим для провода будет путь по полу, ближней и дальней стенам зала и по боковой стене. Если мы представим себе комнату в виде картонной коробки, которую можно разрезать и развернуть на плоскость, как показано на рисунке, то кратчайшим путем окажется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами в 39 и 15 футов. Длина такого пути окажется чуть больше 41,78 фута.

[Это лойдовский вариант известной головоломки Генри Э. Дьюдени «Паук и муха».[37] Изменив размеры комнаты, Лойд так преобразовал задачу, что в ней приходится совершенно иначе разрезать и разворачивать комнату на плоскость. – М. Г.]

264. [Хотя С. Лойд уделяет этой головоломке мало внимания и приводит ответ, не объясняя способа решения, это одна из наиболее интересных задач в его сборнике, где приходится сочетать алгебраические и диофантовы методы.

Один из способов решения состоит в следующем. Пусть х – число первоначально купленных щенков, а также число крыс. Число щенков среди семи оставшихся животных обозначим через у, тогда число оставшихся крыс будет равно 7 – у. Число проданных щенков (по 2,2 бита за каждого, учитывая 10 %-ную надбавку) будет х – у, а число проданных крыс (по 2,2 бита пара, или по 1,1 бита за штуку) составит х – 7 – у.

Выражая условия задачи в форме уравнений и упрощая их, мы приходим к следующему диофантову уравнению с двумя неизвестными, которое нужно решить в целых числах: 3х= 11у+77.

Кроме того, нам известно, что у не превосходит 7.

Испробовав 7 возможных значений у, мы находим, что только при у = 5 и 2 величина х оказывается положительной. Эти значения привели бы к двум различным решениям задачи, если бы не то обстоятельство, что крысы покупались парами. Если у = 2, то число купленных крыс, 33, оказалось бы нечетным. Следовательно, мы должны исключить эту возможность и сделать вывод, что у =5.

Теперь можно восстановить всю картину. Торговец купил 44 щенка и 22 пары крыс, заплатив всего 132 бита. Он продал 39 щенков и 21 пару крыс, за которых получил 132 бита. У него осталось 5 щенков ценой в 11 битов (с учетом надбавки) и 2 крысы ценой в 2,2 бита. Цена всех 7 животных составила, таким образом, 13,2 бита, что как раз и равно 10 % от 132 битов. –