Рассказы о математике с примерами на языках Python и C - [4]

Шаг	Значение	Погрешность
1	3.5	0.25
2	3.464285714285714	0.00127
3	3.464101620029455	3.3890E-8
4	3.464101615137754	2.392873369E-17

Результат: √12 = 3,464101615137754

Как можно видеть, сделав всего 4 шага, можно получить √12 с достаточной точностью, задача вполне посильная даже для ручных расчетов 15 века.

Наконец, запрограммируем вторую часть алгоритма — собственно вычисление Пи.

sum = Decimal(1)
sign = -1
for p in range(1,32):
    sum += Decimal(sign) / Decimal((2 * p + 1)*(3**p))
    sign = -sign
    print(p, sqrt12 * sum)
print("Result:", sqrt12 * sum)

Результаты работы программы:

Шаг  Значение
1    3.079201435678004077382126829
2    3.156181471569954179316680000
3    3.137852891595680345522738769
4    3.142604745663084672802649458
5    3.141308785462883492635401088
6    3.141674312698837671656932680
7    3.141568715941784242161823554
8    3.141599773811505839072149767
9    3.141590510938080099642754230
10   3.141593304503081513121460820
11   3.141592454287646300323593597
12   3.141592715020379765581606212
13   3.141592634547313881242713430
14   3.141592659521713638451335328
15   3.141592651733997585128216671
16   3.141592654172575339199092210
17   3.141592653406165187919674184
18   3.141592653647826046431202391
19   3.141592653571403381773710565
20   3.141592653595634958372427485
21   3.141592653587933449530974820
22   3.141592653590386522717511595
23   3.141592653589603627019680710
24   3.141592653589853940610143646

Уже на 24-м шаге мы получаем искомые 11 знаков числа Пи. Задача явно требовала больше времени чем сейчас, но вполне могла быть решена в средние века.

Современные формулы не столь просты внешне, зато работают еще быстрее. Для примера можно привести формулу Чудновского:

Для сравнения, те же 24 итерации по этой формуле дают число Пи со следующей точностью:

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249.

Если сделать 100 итераций и вычислить 1000 знаков Пи, то можно увидеть так называемую «точку Фейнмана»:

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420207

Это последовательность «999999», находящаяся на 762-м знаке от начала. Желающие могут поэкспериментировать дальше самостоятельно с помощью программы на языке Python:

from math import factorial
from decimal import *

def chudnovsky(n):
    pi = Decimal(0)
    k = 0
    while k < n:
        pi += (Decimal(-1)**k) * (Decimal(factorial(6 * k)) / ((factorial(k)**3) * (factorial(3*k))) * (13591409 + 545140134 * k) / (640320**(3 * k)))
        k += 1
        print("Шаг: {} из {}".format(k, n))
    pi = pi * Decimal(10005).sqrt() / 4270934400
    pi = pi**(-1)
    return pi

# Требуемая точность (число знаков)
N = 1000
getcontext().prec = N

val = chudnovsky(N / 14)
print(val)

Эта программа не оптимизирована, и работает довольно-таки медленно, но для ознакомления с сутью алгоритма этого вполне достаточно. Кстати, с помощью формулы Чудновского два инженера Александр Йи и Сингеру Кондо в 2010 году объявили о новом мировом рекорде вычисления Пи на персональном компьютере: 5 трлн знаков после запятой. Компьютеру с 12 ядрами, 97 Гб памяти и 19 жесткими дисками потребовалось 60 дней для выполнения расчетов.

На этом мы закончим с числом Пи, хотя с ним конечно, связано куда больше интересных фактов. Например 3 марта (т. е. 03.14) отмечается международный «день числа Пи», ну а другие факты читатели могут поискать самостоятельно.

4. Вычисление радиуса Земли

О том, что Земля круглая сегодня знает каждый школьник, и никого не удивить таким видом планеты из космоса.

Однако в историческом плане, увидеть планету свысока мы смогли совсем-совсем недавно. Как же мог греческий ученый Эратосфен измерить радиус Земли, в 240 году до нашей эры? Оказывается мог, используя 2 научных «инструмента» — транспортир и верблюда, ну и разумеется, математику.

Эратосфен жил в Александрии — крупнейшем городе того времени, центром науки и искусств древнего мира. В Александрии по преданию, находился маяк высотой 120 метров — даже сегодня такое сооружение не просто построить, а в то время маяк считался одним из 7 чудес света. Эратосфен же был не только ученым, но и хранителем Александрийской библиотеки, содержащей до 700000 книг.