Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями - [20]
Рис. 18. Единичный квадрат с равномерно распределенной величиной (X, Y).
Рис. 19. Незаштрихованная область отвечает случаю Y > X.
Предположим для удобства, что X лежит левее Y, т. е. X < Y. Тогда распределение сосредоточено на заштрихованном треугольнике на рис. 19. Вероятности по-прежнему пропорциональны площадям, но чтобы распределение было вероятностным, вся площадь треугольника должна быть умножена на 2. Мы хотим найти среднюю длину самого короткого куска. Для этого заметим, что минимальная длина равна либо X, либо Y − X, либо 1 − Y. Если X — наименьшее число из указанных, то
X < Y − X, или 2X < Y
и
X < 1 − Y, или X + Y < 1.
На рис. 20 изображена область, отвечающая этим неравенствам. Видно, что X изменяется от 0 до 1/3. Из планиметрии известно, что центр тяжести треугольника отстоит от основания на расстоянии, равном 1/3 проведенной к нему высоты. Этим основанием в нашем случае является отрезок оси Y. Так как X-я координата вершины равна 1/3, то среднее величины X, или короткого отрезка, равно 1/3·1/3 = 1/9.
Рис. 20. Треугольник, обведенный жирной линией, соответствует случаю, когда левый кусок наименьший.
Рис. 21. Область, где X отвечает наибольший кусок.
Рассмотрим теперь случай, когда X — наибольший кусок. Тогда
X > Y − X, или 2X > Y
и
X > 1 − Y, или X + Y > 1.
На рис. 21 изображен соответствующий четырехугольник. Для того чтобы найти координату X его центра тяжести, разобьем его на два треугольника по пунктирной линии. Затем вычислим среднее этих координат для каждого треугольника и сложим их с весами, равными площадям треугольников.
Среднее значение X для правого треугольника равно 1/2 + 1/3·1/2, для левого треугольника 1/2 − 1/3·1/6. Площади треугольников пропорциональны 1/2 и 1/6 так как у них одно и то же основание. Таким образом, среднее для величины X есть
Так как среднее значение длины самого маленького куска равно 1/9 или 2/18, а самого длинного 11/18, то для среднего куска оно оказывается равным 1 − 11/18 − 2/18 = 5/18. Этот факт нетрудно получить и непосредственным подсчетом, рассмотрев область, соответствующую неравенствам 1 − Y > X > Y − X.
Итак, средние длины короткого, среднего и длинного кусков относятся как 2 : 5 : 11.
Если ломать стержень на две части, то средние дайны короткого и длинного кусков относятся как
1/4 : 3/4 или 1/2 · 1/2 : 1/2 · (1/2 + 1).
Для трех кусков мы получили пропорцию
1/9 : 5/18 : 11/18,
что можно записать в виде
1/3 · 1/3 : 1/3 · (1/3 + 1/2) : 1/3 · (1/3 + 1/2 + 1).
В общем случае разламывания стержня на n кусков средние длины равны:
наименьший кусок
второй по длине кусок
третий по длине кусок
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
наибольший кусок
Автор, к сожалению, не располагает простым доказательством этого факта.
44. Решение задачи о выигрыше в небезобидную игру
Не стоит расстраиваться из-за того, что игра несправедлива, ведь в конце концов только вы можете получить приз. Пусть ваш партнер для краткости обозначен через B, вы — через A. Пусть также общее число партий равно N = 2n. Вероятность выигрыша в каждой отдельной игре равна p, а проигрыша q = 1 − p.
Первая мысль, приходящая в голову многим, состоит в том, что поскольку игра не безобидна, то с возрастанием N средняя разность (число очков A минус число очков B) становится все «больше отрицательной». Отсюда делается вывод о том, что A должен играть как можно меньше игр, т. е. две игры.
Если бы правилами допускалось нечетное число игр, то это соображение действительно привело бы к правильному результату, и A должен был бы играть всего одну игру. Для четного же числа игр накладываются два эффекта: (1) смещение в пользу В и (2) изменение среднего члена биномиального распределения (вероятности ничьей) с ростом числа сыгранных партий.
Рассмотрим на минуту справедливую игру (p = 1/2). Тогда чем больше N, тем больше вероятность победы A, так как при возрастании 2n вероятность ничьей стремится к нулю, и вероятность выигрыша A стремится к 1/2. Для N = 2, 4, 6 эти вероятности равны соответственно 1/4, 5/16, 22/64. Из соображений непрерывности следует, что при p незначительно меньшем, чем 1/2, A следует выбирать большое, но конечное число игр. Однако, если p мало, то выбор N = 2 является оптимальным для A. Оказывается, что это так в случае, когда p < 1/3.
Вероятность выигрыша в игре, состоящей из 2n партий, равна сумме вероятностей получения n + 1, n + 2, ..., 2n очков, т. е.
Если играются 2n + 2 туров, то вероятность выигрыша равна
Игра, составленная из 2n + 2 партий, может быть рассмотрена как игра из 2n туров с добавлением еще двух туров. Если только игрок A не набрал n или n + 1 очко в игре из 2n туров, то он остается выигравшим или проигравшим в игре из 2n + 2 партий в зависимости от того, выиграл он или проиграл в игре из 2n партий.
Итак, вычислим (1) вероятность получения n + 1 очка в первых 2n партиях и проигрыша в следующих двух, равную
и (2) вероятность получения n очков в первых 2n партиях и выигрыша в следующих двух, которая равняется
