Путеводитель для влюбленных в математику - [44]
Мы расположили эти числа по квадратам, а теперь давайте раскрасим некоторые из них черным цветом. Пусть квадраты с нечетными числами станут черными, а квадраты с четными останутся белыми:
Продолжим вплоть до 64 ряда. Как вы думаете, что получится?
Разве это не великолепно?
Я хочу завершить главу, посвященную фракталам, рассказом о неотразимой фигуре, придуманной Хельге фон Кохом[186]. Алгоритм ее построения чрезвычайно прост. Мы начинаем с прямого отрезка, делим его на три части и строим равносторонний треугольник на основе среднего из трех новых отрезков. Затем мы удаляем центральный отрезок. Теперь у нас есть четыре отрезка, каждый из которых в три раза меньше исходного. Мы повторяем процедуру с каждым из этих отрезков.
Чтобы получить снежинку целиком, начнем с равностороннего треугольника и проделаем описанную процедуру с каждой из его сторон. Это выглядит следующим образом:
Устремляясь к бесконечности, мы получим снежинку Коха.
Глава 18
Гиперболическая геометрия
Математики помешаны на определениях. Мы требуем, чтобы все концепции базировались на кристально ясных, недвусмысленных определениях. Потому любая математическая идея основана на более простых идеях. Треугольник состоит из отрезков. Рациональные числа – это отношения целых чисел.
Спускаясь с башни математических определений, рано или поздно мы дойдем до фундамента. Для греков в основании всего лежала геометрия[187].
Евклид не пытался дать определения базовым геометрическим объектам – точке, прямой линии, плоскости[188]. Он поступил иначе: принял за данность определенные фундаментальные свойства, которыми обладают эти объекты. Тезисы Евклида называют постулатами, или аксиомами.
Чтобы дать старт геометрии, Евклид сформулировал пять основных постулатов. В грубом переводе они звучат так:
1. Если даны две точки, есть одна и только одна прямая, проходящая через эти точки.
2. Если дан отрезок, его можно неограниченно продолжать по прямой.
3. Если дана точка и отрезок, есть одна и только одна окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.
4. Любые два прямых угла[189] равны между собой.
5. Если две прямые пересекают данную прямую и внутренние углы, получившиеся при пересечении, вместе меньше двух прямых углов, эти две прямые рано или поздно пересекутся (см. рисунок).
Первые четыре постулата просты, их легко понять. Но пятый вносит некоторую неразбериху. Подумаем, о чем он говорит.
Обозначим исходную прямую L>0, а две другие – L>1 и L>2. Прямые L>0 и L>1, а также L>0 и L>2 пересекаются под некоторыми углами.
Постулат требует от нас рассмотреть ситуацию, при которой внутренние углы (лежащие по одну сторону от L>0) меньше прямых. Стрелочки на рисунке указывают на углы, которые имел в виду Евклид. Они лежат по одну сторону L>0 и обращены друг к другу.
Переходим к сути постулата. Если эти два угла меньше прямых, L>1 и L>2 вынуждены пересечься. Точки пересечения нет на рисунке, но несложно видеть, что прямые действительно неминуемо встретятся.
Приняв эти пять постулатов за данность, Евклид перешел к доказательству сонма дивных теорем.
Пятый постулат Евклида кажется неуклюжим. Его неприглядность контрастирует с изяществом и простотой первых четырех постулатов. Математика основана не только на практике, но и на эстетике, поэтому формулировка Евклида взывает к редактуре.
Мы предлагаем вашему вниманию более простой вариант.
5'. Если дана прямая и точка, не лежащая на данной прямой, есть одна-единственная прямая, проходящая через данную точку и не пересекающая ее.
Эта альтернативная версия пятого постулата Евклида известна под названием постулат о параллельных прямых[190]. Посмотрим, что он означает.
Нам даны прямая L и точка P, не лежащая на ней. Посмотрите на рисунок. Постулат 5' утверждает, что существует другая прямая, проходящая через точку P и параллельная данной (обозначена пунктирной линией), причем одна-единственная.
Математики показали, что пятый постулат Евклида и постулат о параллельных прямых эквивалентны. Это означает, что теоремы, которые мы можем доказать на основе первых четырех постулатов и постулата 5, – те же самые, что можно доказать на основе первых четырех постулатов и постулата 5'.
Несмотря на то что формулировка 5' несколько проще, чем 5, все же она не настолько изящная и блестящая, как первые четыре. Можно ли избавиться от нее? Можно ли доказать постулат о параллельных прямых как теорему и не принимать в качестве фундаментального утверждения?
Постулат о параллельных прямых накладывает два условия: во-первых, существует прямая, проходящая через точку P и не пересекающая прямую L; во-вторых, все другие прямые, проходящие через эту точку, будут пересекать L.
Естественный способ справиться с проблемой – попробовать доказательство от противного. Мы обсуждали этот метод в главе 1. Вот его логика.
(A) Чтобы доказать существование прямой, проходящей через точку P и параллельной L, предположим, что такой прямой не существует.
(B) Чтобы доказать единственность этой прямой, предположим, что существуют две или больше прямых, проходящих через
