Путеводитель для влюбленных в математику - [43]

Продолжим подсчитывать клеточки, на сей раз затронутые двумерной фигурой – кругом[181] с радиусом 1.

Будем снова и снова вычерчивать наш круг на бумаге с клеточками 1 × 1, 1/2 × 1/2, 1/4 × 1/4 и т. д. Всякий раз мы станем закрашивать клеточки, затронутые кругом, то есть те, что расположены внутри круга, и те, которые пересекает окружность.

На бумаге, расчерченной 1 × 1, разместим центр круга на перекрестье клеточек; легко заметить, что он затрагивает ровно четыре клеточки. Изобразим развитие ситуации на следующих этапах:

На втором этапе круг затрагивает все 16 клеточек, затем все клеточки, кроме 4, то есть 60. Считать дальше скучно, поэтому доверим процесс компьютеру. Вот результат:

Сразу видно, что уменьшение стороны клеточки в 2 раза приводит к увеличению числа закрашенных клеточек примерно в 4 раза. Вот точные соотношения:

Грубо говоря, число закрашенных клеточек действительно возрастает в четыре раза. Но это приближение становится не таким грубым, когда число клеточек увеличивается. Почему?

Когда площадь клеточек мала, подавляющее большинство закрашенных клеточек лежит внутри круга. Кое-какие можно увидеть на периферии, но их ничтожно мало по сравнению с другими. Когда мы уменьшаем сторону клеточки вдвое, клеточек внутри круга становится больше в четыре раза, а вот количество клеточек на периферии увеличивается на меньшее число, потому что часть из них окружность не пересекает.

Рассуждая таким образом, мы поймем, что уменьшение стороны клеточки в 10 раз приводит к росту числа закрашенных клеточек примерно в 100 раз. Внутри круга клеточек становится ровно в 100 раз больше, но применительно к границе это утверждение не совсем верно.

Мы можем выразить соотношение между количеством клеточек, затронутых кругом, и длиной стороны клеточки следующим образом:

Вот еще один способ убедиться в том, что формула (B) верна. Площадь круга равна πr². Если радиус круга равен 1, его площадь равна π.

Нарисуем круг на бумаге с клеточками g × g и посчитаем, сколько клеточек он затронул; обозначим их количество буквой N. Каждая клеточка имеет площадь g². Общая площадь закрашенных клеточек почти совпадает с площадью круга. Таким образом,

π ≈ Ng².

Следовательно,

В упрощенном виде это приводит к соотношению

Мы нашли способ подсчитывать длины одномерных фигур и площади двумерных.

Соотношение (A) верно не только для нашей загогулины, но и для любого одномерного объекта. Когда мы делаем сетку мельче в 10 раз, количество клеточек, затронутых линией, вырастает примерно в 10 раз.

Соотношение (B) тоже выполняется не только для круга, но и для любой двумерной фигуры. Делаем сетку мельче в 10 раз – и количество клеточек, затронутых кругом, увеличивается примерно в 100 раз, потому что внутри одной большой клеточки теперь располагается 100 маленьких.

Итак:[182]

Размерность треугольника Серпинского

Мы теперь умеем уверенно отличать одномерные объекты от двумерных. Вычерчиваем объект на миллиметровке, делаем сетку все более мелкой и на каждом этапе подсчитываем затронутые им клеточки. Если выполняется соотношение (A), объект одномерный; если соотношение (B), объект двумерный.

Посмотрим, что произойдет с треугольником Серпинского на клетчатой бумаге[183]. Уместим его в клеточку 1 × 1. На рисунке показано, что будет при уменьшении размера клеточек до 1/2, 1/4, 1/8 и 1/16:

В первом случае затронуты все 4 клеточки. Во втором случае не затронуты 2 клеточки слева сверху и 2 клеточки справа сверху, а всего клеточек 16 штук. Вот таблица целиком:

Вопрос: когда мы уменьшаем сторону клеточки вдвое, количество клеточек, затронутых нашей фигурой, увеличивается в два раза (случай одномерного объекта) или в четыре раза (случай двумерного объекта)?

Разумеется, вся соль в том, что ни один из двух вариантов не подходит. На новом этапе количество клеточек вырастает ровно в три раза[184]. Их число растет быстрее, чем в случае одномерных объектов, но медленнее, чем в случае двумерных. Таким образом, размерность треугольника Серпинского лежит между двумя целыми величинами.

Мы можем в точности вычислить размерность треугольника Серпинского, но это потребует базовых знаний о логарифмах и некоторых алгебраических выкладок. Если вам все это в тягость, можете спокойно пропустить следующие абзацы.

Итак, цель состоит в том, чтобы найти формулу вроде (A) или (B): Число d в ней и будет количеством измерений нашей фигуры.

Если сторона клеточки равна

(где k – натуральное число), то

Вот проверка:

Формула

дает в точности те же числа, что и в предыдущей таблице.

Задача состоит в том, чтобы найти такое число d, что

Прологарифмируем обе части[185]:

Мы знаем

Подстановка в предыдущую формулу дает:

Наряду с треугольником Серпинского существует ковер Серпинского. Вот этапы его построения:

Устремляясь к бесконечности, мы получим такую картинку:

Как вы думаете, какова размерность этого фрактала? Ответ вы найдете в конце главы.

Серпинский и Паскаль

Студенты на факультетах математики до потери пульса разлагают на множители полиномы, в первую очередь степени x + y. Восстановим в памяти, о чем идет речь:

Мы можем расположить коэффициенты данных полиномов в таблице. Ее называют