Путеводитель для влюбленных в математику - [17]

В 9 случаях из 24 никто не получает свою шляпу. Таким образом, при N = 4 интересующая нас вероятность равна

Для N = 5 существует 5! = 120 различных вариантов вернуть шляпы. Из них 44 нам подходят: ни один человек не получит свою шляпу. Таким образом, вероятность будет равна

В таблице вы можете видеть, как меняется вероятность по мере возрастания N.

Вероятность меняется и дальше, но на ничтожно малую величину.

Хорошенько подумав, мы можем вывести формулу зависимости вероятности того, что никто из N зрителей не получит свою шляпу, от числа N:

Например, при N = 4

Это согласуется с нашими предыдущими выкладками.

В пределе, когда N стремится к бесконечности, вероятность того, что никто не получит свою шляпу, равна

Этот ряд уходит в бесконечность. Обратите внимание, что эта формула похожа на формулу (A) для подсчета числа e. Сумма ряда (B) равна

Мы снова встретили наше заветное число!

Уже при N = 10 сумма ряда будет равна

Это достаточно близко к следующему значению:

Среднее расстояние между двумя простыми числами

В главе 1 я доказал, что простых чисел бесконечно много. Вы увидели, что среди небольших целых положительных чисел простые числа встречаются достаточно часто, но, когда мы уходим в бесконечность, простые числа начинают попадаться все реже. Мы можем с некоторой точностью установить, насколько редко встречаются простые числа, если попытаемся найти среднее расстояние между ними[76].

Какие простые числа можно найти между 1 и 20?

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Промежутки (разности) между этими числами следующие:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2.

Следовательно, среднее расстояние между ними равно:

Теперь посчитаем, сколько простых чисел между 1 и 1000. Всего их 168: начиная с 2, 3 и 5 и заканчивая 983, 991 и 997. Среднее расстояние между соседними простыми числами в этом случае составит:

Знаменатель равен 167, так как простых чисел 168, а промежутков между ними на 1 меньше. Числитель можно посчитать довольно просто. Обратите внимание, что число 3 встречается дважды с разными знаками. Та же история с числом 5. Разумеется, это верно для всех чисел, кроме первого и последнего[77]. Таким образом, нам достаточно вычесть 2 из 997. Получается, что среднее расстояние между простыми числами от 1 до 1000 равно

Это в два с лишним раза больше, чем в случае, когда мы брали числовой ряд от 1 до 20.

Введем обозначение agap(N) для среднего расстояния между простыми числами от 1 до N. Тогда наши предыдущие расчеты могут быть записаны в таком виде:

Вычислим среднее расстояние между простыми числами от 1 до N, когда N равно 100, 1000, 10 000 и так далее до 1 000 000 000. И округлим результат до тысячных:

Легко заметить: когда N становится больше в десять раз, agap(N) возрастает примерно на 2,3.

Мы можем проиллюстрировать эту закономерность на графике. Будем отмечать число N по оси абсцисс и agap(N) по оси ординат. Масштаб по оси ординат оставим обычным, а по оси абсцисс разница между делениями пусть постоянно возрастает в 10 раз (это называется логарифмическая шкала):

Обратите внимание: звездочки выстроились почти в прямую линию. Если присмотреться, левый нижний конец нашей кривой слегка загибается вверх.

Если бы звездочки на графике в точности выстроились в линию, мы получили бы следующую формулу, включающую число Эйлера:

N = e^{a+ 1}. (C)

Здесь а=agap(N) Скажем, если N = 10¹², то agap(N) ≈ 26,59. Для выполнения (C) необходимо, чтобы a ≈ 26,63, и наш результат близок к этому числу.

Чудесная формула

Три главы были посвящены трем важным числам: π, i, e. Хотите верьте, хотите нет, но все они встречаются в одной формуле (которую вывел Эйлер):

e^iπ+ 1 = 0.

Формула поражает невероятным изяществом и простотой, однако как можно возводить число в мнимую степень?!

Мы знаем, как возвести e в целую положительную степень. Например, e³ = e × e × e. Отрицательная степень – это произведение дробей:

Дробные степени могут быть выражены через квадратные корни, кубические корни и т. д.:

Можно посчитать даже такую жутковатую величину, как

Но e^iπ не вписывается в эти стандарты. Нам нужен иной принцип[78].

Мы знаем, что e представляет собой сумму бесконечного ряда:

Для любого x значение e^x будет:

Скажем, в случае x = –1 мы получим знакомый по казусу со шляпами ряд (B):

Чтобы узнать, чему равно e^iπ, подставим iπ вместо x:

Чему равны числители дробей в этой сумме?

(iπ) ² = (iπ) × (iπ) = i² × π² = – π².

(iπ) ³ = i × i × i × π³ = –1 × i × π³ = –iπ³.

(iπ) ⁴ = i⁴ × π⁴ = π⁴.

(iπ) ⁵ = –iπ⁵.

(iπ) ⁶ = –π⁶.

(iπ) ⁷ = –iπ⁷.

(iπ) ⁸ = π⁸.

Элементы ряда поочередно оказываются то действительными, то мнимыми. Сгруппируем эти две категории элементов:

Оказывается, что выражение между первыми двумя скобками представляет собой в точности cos(π), то есть –1, а выражение между вторыми скобками равно sin(π), то есть 0. Таким образом,

e^iπ = cos(π) + i sin(π) = –1 + 0i = –1.

Теперь мы понимаем, как возникла чудесная формула Эйлера.

Глава 8 ∞

«В бесконечность и дальше!» – таков был лозунг Базза Лайтера, бесстрашного космического рейнджера из мультфильма «История игрушек». Эта фраза вызывает смех, ибо абсурдна: куда уж дальше бесконечности? Если что-то бесконечно велико, то может ли существовать что-то большее? Такие вопросы кажутся безумными, и математики до поры до времени предпочитали их не задавать. Но в конце XIX века Георг Кантор