Простая одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике - [17]

математическая теория многозначных функций. Бернхард Риман был знатоком этой теории, и мы познакомимся с его идеями в главе 13.v. Но сейчас не время и не место для этого, и я не собираюсь тащить сюда сундук, набитый подобными вещами. Во всяком случае, что касается меня, то железное правило состоит в том, что на один аргумент — самое большее одно значение (ни одного значения, разумеется, если аргумент не лежит в области определения функции). Квадратный корень из 1 равен 1, квадратный корень из 4 равен 2, квадратный корень из 9 равен 3. Означает ли это, что я не признаю того факта, что −3 умножить на −3 даст 9? Разумеется, я его признаю, я просто не включаю его в мое определение «квадратного корня». Вот мое определение квадратного корня (по крайней мере на данный момент): квадратный корень из N есть единственное неотрицательное число (если таковое имеется), которое при умножении само на себя дает N.

VIII.

По счастью, показательная функция не доставляет нам подобных хлопот. Вы можете шутя обратить ее и получить функцию, которая при выборе аргументов, получаемых друг из друга умножением, дает значения, получаемые друг из друга сложением. Разумеется, как и в случае показательных функций, обратные им функции также образуют семейство, зависящее от множителя; и, как и с показательной функцией, математикам намного, намного больше всех остальных нравится та, к значениям которой прибавляется единица, когда аргументы умножаются на e. Получаемую функцию называют логарифмической, а обозначают ln.[20] «Логарифм!» — вот слово, которое возникло в голове математика при вспышке лампочки, когда он увидел таблицу 3.2. Если y = e^x, то x = ln y. (Отсюда, кстати, путем простой подстановки следует, что для любого положительного числа у выполнено y = e^ln y — факт, которым мы не преминем как следует воспользоваться в дальнейшем.)

В математических сюжетах, имеющих отношение к данной книге — то есть к Гипотезе Римана, — логарифмическая функция присутствует повсеместно. Мы поговорим о ней куда более подробно в главах 5 и 7, и она будет играть роль настоящей звезды нашего рассказа, когда в главе 19 мы повернем наконец Золотой Ключ. Пока же давайте примем на веру, что это — функция в только что описанном смысле, по-настоящему важная математическая функция, и при этом обратная к показательной функции: если y = e^x, то x = ln y.

Теперь я перейду прямо к сути дела и покажу вам логарифмическую функцию, но вместо того, чтобы двигаться вперед шагами, соответствующими умножению на e, давайте умножать аргументы на 1000. Как мы уже говорили, когда функцию представляют в виде таблицы, надо выбрать аргументы (а также число знаков после запятой — в нашем случае четыре). Клянусь, что это та же самая функция. Чтобы лучше было видно, что тут происходит, я справа добавил в таблицу еще две колонки: первая из них — это просто правая колонка из таблицы 3.2, а вторая выражает в процентах отклонение нашей колонки номер 2 от колонки номер 3. Результат приведен в таблице 3.3.

N			ln N	N/π(N)	Ошибка, %
1 000			6,9078	5,9524	16,0409
1 000 000			13,8155	12,7392	8,4487
1 000 000 000			20,7233	19,6665	5,3731
1 000 000 000 000			27,6310	26,5901	3,9146
1 000 000 000 000 000			34,5388	33,5069	3,0794
1 000 000 000 000 000 000			41,4465	40,4204	2,5386

Таблица 3.3.

Представляется разумным следующее утверждение: N/π(N) близко к ln N, причем тем ближе, чем больше становится N.

У математиков есть специальная запись для этого: N/π(N) ~ ln N. (Читается так: «N, деленное на π(N), асимптотически стремится к ln N»). Волнистый знак в этой формуле по науке называется «тильда», однако, судя по моему опыту, математики нередко называют его просто «волной».

Если слегка переоформить этот факт, следуя обычным правилам алгебры, то мы получим следующее утверждение.

Теорема о распределении простых чисел

π(N) ~ N/ln N

Разумеется, мы эту теорему не доказали — мы просто увидели, что такое утверждение правдоподобно. Это очень важный результат, настолько важный, что он называется Теоремой о распределении простых чисел. Это не какая-то там теорема о распределении простых чисел, нет, а Теорема о Распределении Простых Чисел. Специалисты по теории чисел нередко пишут просто «ТРПЧ», и в этой книге мы так и будем поступать.

IX.

И наконец, получим два следствия из ТРПЧ (в предположении, конечно, что она верна). Чтобы вывести эти следствия, сначала заметим, что в некотором смысле (логарифмическом смысле!) при работе со всеми числами вплоть до некоторого большого N большинство из этих чисел вполне сравнимы по величине с самим N. Например, среди всех чисел от 1 до одного триллиона более 90 процентов имеют 12 или более разрядов и в этом смысле вполне сравнимы с триллионом (у которого 13 разрядов), а не, скажем, с одной тысячей (с ее четырьмя разрядами).

Если на интервале от 1 до N имеется N/ln N простых чисел, то средняя плотность простых в этом интервале составляет 1/ln N. А поскольку большинство чисел в этом интервале сравнимы по размеру с числом N в том грубом смысле, который я только что описал, то справедливым будет заключение, что в районе числа N плотность простых чисел есть 1/ln