Простая одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике - [126]
Строка 33.«Вейль обратился к предмету…». В этих последних куплетах говорится об алгебраическом подходе, упоминавшемся в главе 17.iii, и о результате А. Вейля 1942 года.
Строка 34. «Используя более хитрую дзету» — другими словами, один из упоминавшихся в главе 17.iii аналогов дзета-функции, связанных с конечными полями.
Строка 35. Мы определили характеристику поля в главе 17.ii. Аналоги ГР были доказаны только для дзета-функций, связанных с полями ненулевой характеристики — т.е. характеристики, равной некоторому простому числу p.
Строка 36. «…теорема верна». Благодаря А. Вейлю известно, что аналоги ГР для этих специальных полей верны.
Строка 40. Слова «по модулю p» используются здесь в смысле арифметики циферблата из главы 6.viii; как отмечалось в главе 17.ii, здесь имеется связь с теорией полей.
В Интернете можно найти варианты этой песни, несколько отличающиеся оттого, что написан Томом; среди них я отмечу один, который заканчивается строчкой Use R.M.T. and you'll have better luck. Это добродушный пинок в сторону «физического» подхода: R.M.T. означает random matrix theory — теорию случайных матриц.
Организации и частные лица, предоставившие возможность воспроизвести портреты
Леонард Эйлер, Джордж Пойа — воспроизводится с разрешения Джеральда Александерсона. Фрагмент из письма Дж. Пойа в главе 17 — с разрешения Эндрю Одлыжко.
Петр Великий — художник Жан Марк Натье (1717). Государственный Эрмитаж, Санкт-Петербург.
Лежен Дирихле, Карл Гаусс, Давид Гильберт — Deutsches Museum.
Герцог Брауншвейгский — Braunschweigisches Landesmuseum.
Бернхард Риман — в начале 1950-х — с разрешения Михаила Монастырского; 1863 — с разрешения Staatsbibliothek zu Berlin, Preussischer Kulturbesitz.
Рихард Дедекинд, Эдмунд Ландау, Карл Зигель — Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen; Abteilung für Handschriften und seltene Drucke.
Шарль де ля Валле Пуссен — Louvain-la-Neuve, Archives de I'Université Catholique de Louvain, CHUL.
Жак Адамар — Archives of Woodson Research Center, Fondren Library, Rice University.
П.Л. Чебышев — Государственная библиотека имени Максима Горького, Санкт-Петербургский государственный университет.
Ален Конн, Хью Монтгомери, Эндрю Одлыжко, Атле Сельберг — фотографии C.J. Mozzochi, Princeton, NJ, USA.
Годфри Хэролд Харди, Дж. И. Литлвуд — The Master and Fellows of Trinity College, Cambridge.
Йорген Педерсен Грам — фрагмент картины «Собрание Академии» П.С. Кройера, написана в 1895-1897. The Royal Danish Academy of Sciences and Letters.
Алан Тьюринг — The National Portrait Gallery, London.
Эмиль Артин — Princeton University Library.
Андре Вейль, Пьер Делинь— фотографы Herman Landshoff (Вейль), Randall Hagadorn (Делинь). Archives of the Institute for Advanced Study, Princeton.
Фримен Дайсон — с разрешения Ф. Дайсона.
сэр Майкл Берри — с разрешения М. Берри.
Эрнст Линделёф — фотография W. Sjörström (1930). Helsinki University Museum.
Харальд Крамер — с разрешения профессора Андерса Мартин-Лефа, Факультет математической статистики Стокгольмского университета.
Тай-е — фотография автора.
Примечания и дополнения автора, сделанные в середине 2003 года
«В современный анализ эти концепции не допускаются». На самом деле существует «нестандартный» анализ, построенный на основе строгого определения «бесконечно малой величины». Это направление связано главным образом с работами А. Робинсона в 1960-х годах (хотя некоторые идеи восходят к Гильберту). Нестандартный анализ полностью обоснован и сам по себе достаточно интересен, но он не оказал большого влияния на текущую работу математиков в той области, о которой я пишу. И более того, моя книга направлена на объяснение обычного анализа для неспециалистов, и поэтому я не собирался отклоняться от темы в эту сторону. Наверное, следовало бы сказать «В современный стандартный анализ…», но и это уже до некоторой степени замутило бы воду. В общем, примечание с объяснением тут вполне уместно…
Что касается подробностей запутанной истории с Сельбергом и Эрдешем, то мои намерения состояли в том, чтобы сохранять некоторую дистанцию, дабы самому не стать ее участником. Вокруг этой темы все еще накаляются страсти. Я столкнулся с ней только при написании книги, и, если не считать двух прочитанных (и отрецензированных) мною биографий Эрдеша, единственной точкой соприкосновения был разговор с Атле Сельбергом, состоявшийся в 2002 году. Несмотря на прошедшие 53 года, эта история явно его расстраивала.
В книге развита теория квантового оптоэлектронного генератора (ОЭГ). Предложена модель ОЭГ на базе полуклассических уравнений лазера. При анализе доказано, что главным источником шума в ОЭГ является спонтанный шум лазера, обусловленный квантовой природой. Приводятся схемы и экспериментальные результаты исследования малошумящего ОЭГ, предназначенного для применения в различных областях военно-космической сферы.
Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.