Простая одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике - [112]

, — определяемая бесконечной суммой вида F(z) = a + bz + cz² + dz³ + …, и пусть еще нам удалось узнать, что у этой функции бесконечно много нулей; назовем их ρ, σ, τ, …. Можно ли выразить данную функцию через ее нули, в виде бесконечного произведения F(z) = а(1 − z/ρ)(1 − z/σ)(1 − z/τ)… — как если бы бесконечная сумма была чем-то вроде «сверхмногочлена»?

Ответ таков: да, при определенных условиях можно. И когда такое удается сделать, получается, как правило, чрезвычайно полезная штука. Например, именно таким способом — применив подобное рассуждение к синусу — Эйлер и решил базельскую задачу.

Но какая нам польза от всего этого для дзета-функции, которая, увы, не является целой функцией? Дело в том, что в ходе упомянутой выше сложной процедуры обращения Риман преобразовал дзета-функцию в нечто слегка от нее отличающееся — в целую функцию, нули которой суть в точности нетривиальные нули дзета-функции. И эту-то слегка измененную функцию можно выразить через данные нули. (Тривиальные нули спокойно исчезли в ходе преобразования.)

Таким вот образом, после некоторой дополнительной обработки, в конце концов и получается выражение ∑_ρLi(x^ρ), в котором сумму надо брать по всем нетривиальным нулям дзета-функции.

И теперь, чтобы продемонстрировать важность вторичного члена в выражении (21.1), а также связанные с ним проблемы, мы разберем его на части. Для этого начнем с его сердцевины и будем двигаться изнутри наружу, т.е. сначала рассмотрим x^ρ, затем функцию Li, а потом уже — вопрос о суммировании по всем возможным значениям буквы ρ.

IV.

Вот, стало быть, перед нами число x, являющееся вещественным. (Окончательная цель всего упражнения состоит в том, чтобы получить формулу для функции π(x), а она осмысленна только для вещественных чисел и даже, честно говоря, для натуральных; правда, мы изменили обозначения от N к x, чтобы использовать средства математического анализа.) С этим x мы делаем такое: возводим его в степень ρ, представляющую собой комплексное число, причем если Гипотеза Римана верна, то комплексное число вида ¹/₂ + ti (где t — некоторое вещественное число). Это действие само по себе заслуживает обсуждения.

При возведении вещественного числа x в комплексную степень а + bi правила комплексной арифметики предписывают следующее. Модуль результата — т.е. расстояние до нуля, измеряемое по прямой, — есть x^a. Буква b на модуль никак не влияет. Зато фаза результата — насколько он повернут и в каком секторе комплексной плоскости лежит — зависит от x и b, но a на фазу не влияет.

При возведении вещественного числа x в степень ¹/₂ + ti, таким образом, модуль результата есть x в степени ¹/₂, т.е. √x. Фаза при этом может оказаться какой угодно — результат может угодить в любой сектор комплексной плоскости, при условии только, что расстояние от нуля равно √x. Иными словами, если при заданном x вычислять значения выражения x^ρ для множества различных нулей ρ дзета-функции, то получаемые числа будут разбросаны по окружности радиуса √x в комплексной плоскости с центром в нуле (при условии, что ГР верна!).

На рисунке 21.2 отмечены точки, представляющие собой результат возведения числа 20 в степень, определяемую первым, вторым, третьим, …, двадцатым нулем дзета-функции. Видно, что результаты разбросаны по окружности радиуса √20 (что равно 4,47213…) в комплексной плоскости, причем без особого порядка. Это происходит потому, что функция 20^s отображает критическую прямую в окружность радиуса √20 таким образом, что критическая прямая (вместе со всеми нанесенными на нее нулями дзета-функции) наматывается и наматывается на эту окружность, делая это бесконечное число раз. На математическом языке данная окружность в плоскости значений задается как 20^{критическая прямая}.

Рисунок 21.2. Плоскость значений для функции w = 20^z. Показаны значения w для первых двадцати нетривиальных нулей дзета-функции.

Представим себе, что наш приятель муравей Арг топает на север по критической прямой в плоскости аргумента, а на его приборчике выставлена функция 20^s; тогда его брат-близнец, муравей Знач, отслеживая соответствующие значения в плоскости значений, нарезает круги по нашей окружности. Он продвигается против часовой стрелки, и к тому моменту, как муравей Арг доберется до первого нуля дзета-функции, муравей Знач одолеет уже почти три четверти своего седьмого круга.[197]

V.

А теперь мы найдем, одно за одним, значения функции Li во всех этих точках — во всем бесконечном числе этих точек. К сожалению, это комплексные числа, а мы определили функцию Li только для вещественных чисел — как площадь под кривой. Имеется ли способ определить Li также и для комплексных чисел? Что из себя представляют интегралы для комплексных чисел? Да, способ определить эту функцию есть; и, кроме того, да, существует способ интегрировать, когда в этом деле участвуют комплексные числа. Интегрирование на самом деле представляет собой один из важнейших элементов комплексного анализа, объект самых прекрасных и мощных теорем во всем этом разделе. Не вдаваясь в подробности, я скажу только, что, да, функция Li