Простая одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике - [110]
Конечно, все это косвенные свидетельства. Однако их не следует сбрасывать со счетов просто как псевдофилософскую игру слов. Выводы, основанные на свидетельствах, могут способствовать получению весьма убедительных результатов, порой вопреки строго аргументированным математическим непреложностям. Рассмотрим, например, очень нематематическую ситуацию, когда гипотезу можно значительно ослабить с помощью подтверждающих ее свидетельств. Гипотеза: ни одно человеческое существо не может быть ростом выше девяти футов. Подтверждающее свидетельство: человек, рост которого 8 футов и 11>3/>4 дюйма. Обнаружение такого индивида подтверждает гипотезу… и, однако, в то же время бросает на нее серьезную тень сомнения![192]
Глава 21. Остаточный член
В главе 19 мы определили ступенчатую функцию J, выразив ее через функцию π, которая подсчитывает для нас простые числа, а потом использовали мебиусово обращение, чтобы выразить π через J. Повернув затем Золотой Ключ, мы шаг за шагом прошли по тем вычислениям, с помощью которых Риман выразил дзета-функцию ζ через функцию J. А другое обращение, как я сказал, позволит выразить J через ζ. Сухой остаток всего этого таков.
• Функцию π, которая пересчитывает простые числа, можно выразить через другую ступенчатую функцию J.
• Функцию J оказывается возможным выразить через дзета-функцию Римана ζ.
Отсюда получается, что все свойства функции распределения простых чисел π некоторым образом закодированы в функции ζ. Достаточно тщательное исследование свойств функции ζ подскажет нам все, что мы хотим узнать про функцию π, другими словами, про распределение простых чисел.
Как же все это на самом деле работает? Какова программа действий? Где в ней найдется место тем самым нетривиальным нулям? И как выглядит этот «посредник» — функция J — когда он переписан через функцию ζ? Ответ на последний вопрос я замял в конце главы 19.
Я замял ответ на этот вопрос по вполне уважительной причине, которая сейчас станет ясной. Выражение (21.1) содержит результат этого второго обращения, окончательное и точное выражение функции J(x) через дзета-функцию:
Вот с чем предстоит иметь дело. Если вы не математик, то перед вами — страшный монстрик (и где, кстати, в нем сидит дзета-функция?). Я собираюсь разобрать эту штуку на кусочки, один за другим, и показать, что творится у нее внутри. Но прежде всего сообщу, что это равенство и составляет основной результат статьи Римана 1859 года. Если вы сможете его одолеть, то поймете суть того, что сделал Риман в этой области, и получите ясное представление обо всем, что было после.
Первое, что надлежит заметить, — это что правая часть выражения (21.1) состоит из четырех частей, или членов. Первый член, Li(x), носит общее название главного члена. Про второй член, имеющий вид ∑>ρLi(x>ρ), Риман говорил во множественном числе как о «периодических членах» (periodischer Gleider) — по причинам, которые вскоре выяснятся; мы будем говорить о нем в единственном числе как о «вторичном члене». Третий член в нашей формуле — дело нехитрое. Это просто число, ln 2, равное 0,69314718055994…
С четвертым членом, несмотря на страх, который он наводит на нематематиков, разобраться на самом деле несложно. Он представляет собой интеграл, т.е. площадь под кривой, описывающей некоторую функцию, причем площадь вычисляется от аргумента x и аж до самой бесконечности. Функция здесь — это, разумеется, 1/(t(t>2 − 1)ln t). Нарисовав ее график (рис. 21.1), мы убеждаемся, что она очень даже отзывчива в отношении того, чего мы от нее хотим. Надо только помнить, что нас совершенно не волнуют значения аргументах, меньшие 2, поскольку J(x) равна нулю, когда x меньше двойки. Поэтому при x = 2 показанная на рисунке затемненная область — это максимальное значение, которого вообще может достигать этот интеграл (т.е. четвертый член в формуле). Площадь затемненной области, т.е. максимальное значение четвертого члена при любых x, которые вообще могут нас интересовать, составляет в действительности 0,1400101011432869….
Рисунок 21.1. Четвертый член в выражении Римана для J(x).
Таким образом, взятые вместе (с учетом знаков) третий и четвертый члены ограничены интервалом от −0,6931… до −0,5531…. Поскольку изучаемая нами функция π(x) по-настоящему интересна только для миллионов и триллионов, эффект от этих двух членов невелик, так что мы практически ничего не будем о них говорить, а сконцентрируемся на двух первых членах.
Главный член тоже не представляет особой проблемы. В главе 7.viii мы уже определили функцию Li(x) как площадь под кривой 1/ln t, измеряемую от нуля до x; мы также привели Теорему о распределении простых чисел (ТРПЧ) в виде π(N) ~ Li(N). В нашем главном члене x — вещественное число, а потому значение Li(x) можно взять из математических таблиц или же вычислить с помощью любой нормальной математической программы, типа Maple или Mathematica.[193]
Разобравшись таким образом с первым, третьим и четвертым членами в выражении (21.1), мы сфокусируемся на втором, имеющем вид ∑
