Программирование игр и головоломок - [4]

Речь идет о том, чтобы увидеть, как ведут себя числовые последовательности, порожденные таким образом. Для этого вычислим большое число членов последовательности, порожденной своим первым элементом. Поместим каждый из этих членов в один из 50 интервалов длины 0.02, составляющих интервал от 0 до 1. Выведем число членов последовательности, попавших в каждый из этих интервалов. Если числа из последовательности равномерно распределены в интервале (0, 1), мы должны будем обнаружить, что их количество в разных интервалах имеет ощутимую тенденцию к постоянству.

Составьте программу для проверки зтого утверждения. Начальное значение может, например, вводиться в начале каждого вычисления.

Упражнение 2. Поиск других последовательностей.

Число π, использованное при вычислении наших последовательностей, не обладает никаким специальным свойством, и можно спросить себя, действительно ли выбор этого числа является наилучшим возможным. Числа (x + π)⁸ довольно велики, а берем мы от них только дробную часть. При этом мы отбрасываем значащие цифры целой части, и — поскольку вычисления на компьютере проводятся с фиксированным количеством значащих цифр — на дробную часть остается относительно небольшое количество цифр. Предположим, что числа представляются с помощью 24 двоичных цифр. Нужно 14 двоичных цифр, чтобы записать 9488, так как

2¹³ = 8192 < 9488 < 2¹⁴ = 16384

и 17 цифр, чтобы записать 86564, так что остается лишь от 7 до 10 двоичных цифр на дробную часть.

Используя (x + a)⁸ вместо (x + π)⁸ с меньшим значением a, можно ожидать сохранения большего количества значащих цифр для дробной части. Но нельзя взять a слишком близко к 1, так как тогда распределение чисел в интервале (0, 1) окажется плохим. Можете ли вы объяснить, почему?

Например, почему нельзя взять a = ⁸√2?

Если вы сделали упражнение 1, вы располагаете программой для проверки случайных чисел. Измените ее так, чтобы она осуществляла чтение

— постоянной а,

— начального значения последовательности.

На своем микрокомпьютере я выяснил, что а = 1.226 дает достаточно хорошие результаты. Но это наблюдение может меняться от машины к машине, так как все это очень чувствительно к способу, которым осуществляются умножения; в последней двоичной цифре результата умножения есть неопределенность, существенно влияющая на рассматриваемый процесс.

Азартные игры

Теперь вы должны быть в состоянии получать последовательности случайных чисел. Либо эта возможность есть в используемом вами языке, либо вы можете построить непредсказуемую последовательность чисел методом, описанным в предыдущем разделе.

Упражнение 3. «Орел» или «решка».

Я не осмеливаюсь предложить это как игру; это скорее упражнение, чтобы научиться использовать случайные числа. Составьте следующую программу:

— она спрашивает вас, что вы загадали, «орла» или «решку», и читает ваш ответ;

— она порождает случайное число и затем сообщает вам, выиграли вы или проиграли.

Единственная трудность; генератор случайных чисел дает вам, быть может, число, содержащееся между 0 и 1 (это так в случае функции ALE языка LSE и для генератора из разд. 1.2. Имеются противоречивые сведения о языке Бейсик, возможности которого существенно меняются от машины к машине). Следовательно, нужно перейти от вещественного числа в интервале 0 : 1 к чему-либо принимающему не более двух значений, например 0 и 1. Вы сопоставляете по своему усмотрению «орла» одному из них, а «решку» — другому.

Если генератор случайных чисел действует не лучшим образом, то игра может оказаться нечестной, и одна из возможностей — «орел» или «решка» — может выпадать чаще, чем другая.

Сделайте программу, реализующую большое число испытаний, и подсчитайте число выпаданий орла.

Упражнение 4. Игральные кости.

Вместо игры в «орла» или «решку» заставьте компьютер играть в кости. Напишите программу, симулирующую большое число выбрасываний двух костей, и подсчитайте, сколько раз будет выпадать каждая комбинация от 2 до 12. Знаете ли вы, сколько раз должна выпасть каждая из них, если генератор случайных чисел идеален, а число бросаний действительно велико?

Перед вами — та же задача, что и в предыдущем упражнении: перейти от некоторого числа в интервале (0, 1) к целому числу от 1 до 6 включительно. Но если вы знаете, как сделать это для 2, то вы сможете сделать и для 6…

Игра 1. Фальшивые кости.

Ну да, такое еще бывает; есть еще такие люди, которые мошенничают и используют поддельные кости. Нужно быть в состоянии заметить это и,- как в любом хорошем вестерне, устроить грандиозную драку с мошенником.

Здесь мошенником пусть будет компьютер. Он играет одной-единственной костью и бросает ее столько раз, сколько вы требуете. Он дает вам число выпаданий единицы, двойки, …, шестерки. Вы сообщаете ему, верите ли вы, что кости поддельные, и если да, то какая грань выпадает чаще других. Компьютер отвечает вам, выиграли вы или проиграли, и случайным образом оценивает ваш выигрыш. Совершенно ясно, что если вы потребуете 40000 бросаний, то у вас будет больше шансов обнаружить истину, чем если вы потребуете 20 бросаний…

Нужно решать две задачи: компьютер должен выбрать — подделывать кости или не подделывать, и если он их подделывает, то он должен решить, какая грань будет встречаться чаще остальных.